Example Question - calculate volume
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Volume Using the Disk Method by Rotating a Line Segment around the x-axis
Para calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar el segmento de recta alrededor del eje "x", podemos usar el método de los discos, que es una aplicación de la integración definida. La fórmula general para el volumen V es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Donde \(f(x)\) es la ecuación de la curva que se rota alrededor del eje x, y [a, b] es el intervalo a lo largo del eje x para el cual estamos encontrando el volumen. En este caso, la ecuación de la recta dada es \(y = 2x + 1\), y estamos interesados en el intervalo de x = 1 a x = 5. Si giramos esta recta alrededor del eje x, la ecuación de \(f(x)\) será \(f(x) = 2x + 1\). Entonces: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 \, dx \] Ahora, expandimos el término cuadrado en la integral: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Nuestra integral entonces queda así: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \] Integramos término por término: \[ \int (4x^2) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + C \] \[ \int (4x) \, dx = 2x^2 + C \] \[ \int (1) \, dx = x + C \] Sustituimos los límites de integración: \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right] \] Realizando las operaciones: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1) + 2(1) + 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{7}{3} \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{7}{3} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{500 - 7}{3} + 50 + 5 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{493}{3} + 55 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{493 + 165}{3} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{658}{3} \right] \] \[ V = \frac{658\pi}{3} \] Ese es el volumen del cono, expresado en unidades cúbicas.
Calculating Volume by Decomposing Solids into Prisms
Para resolver este problema, podemos descomponer el sólido en figuras más simples cuyos volúmenes podemos calcular por separado y luego sumarlos. Específicamente, podemos dividir el sólido en tres prismas rectangulares. Prisma 1 (base inferior): Tiene una base de 3,5 m x 2,5 m y una altura de 0,8 m. Volumen = base x altura Volumen = 3,5 m x 2,5 m x 0,8 m = 7 m² x 0,8 m = 5,6 m³ Prisma 2 (parte central): Tiene una base de 1,2 m x 1,5 m y una altura de 4,5 m - 2,5 m = 2 m (consideramos la altura total menos la altura del prisma 1). Volumen = base x altura Volumen = 1,2 m x 1,5 m x 2 m = 1,8 m² x 2 m = 3,6 m³ Prisma 3 (parte superior): Tiene una base de 1,5 m x 1,5 m y una altura de 2,5 m - 0,8 m - 1,2 m = 0,5 m (la altura es la altura total menos la altura del prisma 1 y la parte superpuesta del prisma 2). Volumen = base x altura Volumen = 1,5 m x 1,5 m x 0,5 m = 2,25 m² x 0,5 m = 1,125 m³ Ahora sumamos los volúmenes de los tres prismas para obtener el volumen total del sólido: Volumen total = Volumen del Prisma 1 + Volumen del Prisma 2 + Volumen del Prisma 3 Volumen total = 5,6 m³ + 3,6 m³ + 1,125 m³ Volumen total = 10,325 m³ Por lo tanto, el volumen del sólido es de 10,325 metros cúbicos.
Calculating Volume of Triangular Pyramid
The volume \( V \) of a pyramid can be calculated using the formula: \[ V = \frac{1}{3} B h \] where \( B \) is the area of the base and \( h \) is the height of the pyramid. Here, the base is a triangle with a base of 6 inches and a height of 4 inches. First, calculate the area of the triangular base \( A \): \[ A = \frac{1}{2} base \times height = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \] \[ A = 3 \times 4 \] \[ A = 12 \, \text{in}^2 \] Next, use the triangular base area and the height of the pyramid (7 inches) to find the volume: \[ V = \frac{1}{3} \times 12 \times 7 \] \[ V = 4 \times 7 \] \[ V = 28 \, \text{cubic inches} \] So, the volume of the triangular pyramid is 28 cubic inches.
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