Example Question - x-axis
Here are examples of questions we've helped users solve.
Calculating Volume Using the Disk Method by Rotating a Line Segment around the x-axis
Para calcular el volumen del cuerpo de revolución generado al girar el segmento de recta alrededor del eje "x", podemos usar el método de los discos, que es una aplicación de la integración definida. La fórmula general para el volumen V es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Donde \(f(x)\) es la ecuación de la curva que se rota alrededor del eje x, y [a, b] es el intervalo a lo largo del eje x para el cual estamos encontrando el volumen. En este caso, la ecuación de la recta dada es \(y = 2x + 1\), y estamos interesados en el intervalo de x = 1 a x = 5. Si giramos esta recta alrededor del eje x, la ecuación de \(f(x)\) será \(f(x) = 2x + 1\). Entonces: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 \, dx \] Ahora, expandimos el término cuadrado en la integral: \[ (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \] Nuestra integral entonces queda así: \[ V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) \, dx \] Integramos término por término: \[ \int (4x^2) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + C \] \[ \int (4x) \, dx = 2x^2 + C \] \[ \int (1) \, dx = x + C \] Sustituimos los límites de integración: \[ V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5} \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right] \] Realizando las operaciones: \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 \right) - \left( \frac{4}{3}(1) + 2(1) + 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{500}{3} + 50 + 5 \right) - \left( \frac{7}{3} \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{7}{3} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{500 - 7}{3} + 50 + 5 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{493}{3} + 55 \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{493 + 165}{3} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{658}{3} \right] \] \[ V = \frac{658\pi}{3} \] Ese es el volumen del cono, expresado en unidades cúbicas.
Calculating Volume of Cone Generated by Rotating Line Around x-Axis
Claro, te ayudaré a resolver el problema. El problema nos pide calcular el volumen de un cono generado al girar una recta alrededor del eje x. La recta dada es y = 2x + 1 y queremos encontrar el volumen entre x = 1 y x = 5. Vamos a usar el método de los discos para rotación alrededor del eje x, que nos dice que el volumen \(V\) generado por la rotación de la gráfica de una función \(y=f(x)\) alrededor del eje x, desde \(x=a\) a \(x=b\), es dado por la integral: \[V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\] Ahora, sustituimos \(y=2x+1\) en la fórmula del volumen para obtener \(f(x) = 2x + 1\). El intervalo de integración es de \(a=1\) a \(b=5\). \[V = \pi \int_{1}^{5} (2x + 1)^2 dx\] Ahora, procedemos a resolver la integral: \[V = \pi \int_{1}^{5} (4x^2 + 4x + 1) dx\] \[V = \pi \left[ \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x \right]_{1}^{5}\] Calculamos el valor de la integral definida: \[V = \pi \left[ \frac{4}{3}(5)^3 + 2(5)^2 + 5 - \left( \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 \right) \right]\] \[V = \pi \left[ \frac{4}{3}(125) + 2(25) + 5 - \left( \frac{4}{3} + 2 + 1 \right) \right]\] \[V = \pi \left[ \frac{500}{3} + 50 + 5 - \frac{7}{3} \right]\] \[V = \pi \left[ \frac{500}{3} + \frac{150}{3} + \frac{15}{3} - \frac{7}{3} \right]\] \[V = \pi \left[ \frac{665}{3} \right]\] \[V = \frac{665\pi}{3}\] Por lo tanto, el volumen del cono generado al girar la recta y = 2x + 1 alrededor del eje x, desde x = 1 hasta x = 5, es \(\frac{665\pi}{3}\) unidades cúbicas.
Finding the Angle of Intersection with x-Axis
Dựa vào hình ảnh bạn cung cấp, đây là một câu hỏi từ một bài kiểm tra trực tuyến và yêu cầu tìm góc hợp bởi đường thẳng d: y = -3x - 10 với trục hoành. Trục hoành có phương trình y = 0. Đường thẳng d có hệ số góc m là -3, tức là đường thẳng nghiêng xuống và tạo với trục hoành một góc obtuse (góc tù). Để tìm góc \( \alpha \) mà đường thẳng d tạo với trục hoành, ta cần tìm góc giữa đường thẳng này và phương ngang (trục hoành). Góc giữa đường thẳng và trục hoành là góc \( \theta \) sao cho: \[ \tan(\theta) = |m| \] trong đó \( m \) là hệ số góc của đường thẳng. Tuy nhiên, vì hệ số góc m = -3, chúng ta cần tìm góc \( \theta \) sao cho \( \tan(\theta) = 3 \). Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các giá trị tan đặc biệt mà chúng ta biết từ các góc cơ bản: - \( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 \) - \( \tan(45^\circ) = 1 \) - \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732 \) Gần nhất với tan có giá trị là 3 là \( \tan(60^\circ) \), nhưng điều này không chính xác bằng 3. Tuy nhiên, câu hỏi cho biết không có giá trị nào đúng chính xác, chúng ta cần chọn giá trị gần đúng nhất từ các lựa chọn đưa ra. Ta thấy rằng không có giá trị nào trong các lựa chọn là một góc obtuse phản ánh đúng mối quan hệ giữa đường thẳng và trục hoành. Tuy nhiên, trong các lựa chọn được đưa ra, \( 60^\circ \) là góc lớn nhất và là giá trị bạn sẽ chọn nếu bạn phải chọn giá trị gần nhất với \( \theta \) mà \( \tan(\theta) \) là 3. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi này phải là: D. \( 60^\circ \) Điều này giả định rằng đề bài không chứa lỗi và không yêu cầu góc chính xác.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com