Calculating Volume of Solid Using Disc Method
Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por la curva \(y = 4\), el intervalo \(x \in [0, 6]\) y el eje \(x\), utilizaremos el método de los discos o cilindros. Este método consiste en considerar el giro de un disco alrededor del eje \(x\), donde el radio del disco está determinado por la función que define la región, y el espesor del disco es un elemento infinitesimal \(dx\).
La fórmula para calcular el volumen \(V\) de un sólido de revolución generado por la rotación de una función \(y=f(x)\) alrededor del eje \(x\) en el intervalo \([a, b]\) es:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]
En este caso, \(f(x) = 4\), que es constante, y el intervalo es \(x \in [0, 6]\). Por lo tanto, el volumen \(V\) será:
\[ V = \pi \int_{0}^{6} 4^2 dx \]
Ahora calculamos la integral:
\[ V = \pi \int_{0}^{6} 16 dx \]
\[ V = 16\pi \int_{0}^{6} dx \]
\[ V = 16\pi [x]_{0}^{6} \]
\[ V = 16\pi [6 - 0] \]
\[ V = 16\pi \cdot 6 \]
\[ V = 96\pi \]
Por lo tanto, el volumen del sólido generado es \(96\pi\) unidades cúbicas.
