Calculating Volume of Solid of Revolution around the y-Axis
Por supuesto, la cuestión planteada en la imagen pide calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje \( y \) la región acotada por la curva \( x^2 + 3 \), la línea \( y = 11 \) y el eje \( y \).
Para resolver este problema, podemos usar el método de los discos (o cilindros) para calcular el volumen del sólido de revolución. Primero, necesitamos expresar \( x \) en términos de \( y \) porque vamos a integrar respecto a \( y \). La ecuación de la parábola \( x^2 + 3 = y \) se puede reescribir para \( x \) como función de \( y \): \( x = \sqrt{y - 3} \). Note que solo consideramos la raíz cuadrada positiva debido a que estamos interesados en el área en el primer cuadrante.
El volumen del sólido generado cuando esta curva gira alrededor del eje \( y \) desde \( y = 3 \) (la parte inferior de la parábola donde corta al eje \( y \)) hasta \( y = 11 \) (dado por la línea horizontal) se puede calcular mediante la integral:
\[ V = \pi \int_{y=3}^{y=11} (\text{radio})^2 dy \]
El radio del disco en este caso es la distancia horizontal desde el eje \( y \) hasta la curva, que es \( x = \sqrt{y - 3} \). Entonces el volumen del sólido es:
\[ V = \pi \int_{3}^{11} (\sqrt{y - 3})^2 dy \]
\[ V = \pi \int_{3}^{11} (y - 3) dy \]
Para calcular la integral, tomamos la antiderivada de \( y - 3 \):
\[ V = \pi \left[ \frac{1}{2}y^2 - 3y \right]_{3}^{11} \]
Ahora simplemente evaluamos la antiderivada en los límites de integración:
\[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(11)^2 - 3(11) \right) - \left( \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) \right) \right] \]
\[ V = \pi \left[ \left( \frac{1}{2}(121) - 33 \right) - \left( \frac{1}{2}(9) - 9 \right) \right] \]
\[ V = \pi \left[ 60.5 - 33 - 4.5 + 9 \right] \]
\[ V = \pi \left[ 27.5 + 4.5 \right] \]
\[ V = \pi \cdot 32 \]
Por tanto, el volumen del sólido es \( 32\pi \) unidades cúbicas.
