Question - Calculating Volume by Disk Method for Intersection of Curves
Solution:
Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas $$y = x^2$$ y $$ y = x^3 $$ alrededor del eje $$X$$, utilizaremos el método del disco. Primero, debemos determinar los puntos donde las curvas se intersectan, igualando las ecuaciones:\[ x^2 = x^3 \]\[ x^2(1 - x) = 0 \]Esto nos da dos puntos de intersección: $$x = 0$$ y $$x = 1$$.Ahora, para aplicar el método del disco, integramos π por el radio al cuadrado (desde la curva más cercana al eje $$X$$ hasta la más lejana) respecto a $$x$$, entre $$x = 0$$ y $$x = 1$$. El radio es la distancia en y entre las dos curvas, o sea, $$ x^2 - x^3 $$. Así que el volumen $$V$$ es:\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^3)^2 dx \]\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^5 + x^6) dx \]\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 2\frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} \]\[ V = \pi \left[ \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \frac{1}{7} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{21}{105} - \frac{35}{105} + \frac{15}{105} \right] \]\[ V = \pi \left[ \frac{1}{105} \right] \]\[ V = \frac{\pi}{105} \]Por lo tanto, el volumen del sólido generado es $$\frac{\pi}{105}$$ unidades cúbicas.
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