Calculating Volume by Disk Method for Intersection of Curves
Para calcular el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas \(y = x^2\) y \( y = x^3 \) alrededor del eje \(X\), utilizaremos el método del disco. Primero, debemos determinar los puntos donde las curvas se intersectan, igualando las ecuaciones:
\[ x^2 = x^3 \]
\[ x^2(1 - x) = 0 \]
Esto nos da dos puntos de intersección: \(x = 0\) y \(x = 1\).
Ahora, para aplicar el método del disco, integramos π por el radio al cuadrado (desde la curva más cercana al eje \(X\) hasta la más lejana) respecto a \(x\), entre \(x = 0\) y \(x = 1\). El radio es la distancia en y entre las dos curvas, o sea, \( x^2 - x^3 \). Así que el volumen \(V\) es:
\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^3)^2 dx \]
\[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^5 + x^6) dx \]
\[ V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - 2\frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} \]
\[ V = \pi \left[ \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \frac{1}{7} \right] \]
\[ V = \pi \left[ \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{7} \right] \]
\[ V = \pi \left[ \frac{21}{105} - \frac{35}{105} + \frac{15}{105} \right] \]
\[ V = \pi \left[ \frac{1}{105} \right] \]
\[ V = \frac{\pi}{105} \]
Por lo tanto, el volumen del sólido generado es \(\frac{\pi}{105}\) unidades cúbicas.
