Example Question - equilateral triangle
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding the Length of Small Equilateral Triangle Inside a Larger Equilateral Triangle
Para resolver el problema en la imagen, necesitamos encontrar el valor de \( x \). La figura muestra un triángulo equilátero (todos los lados son iguales) con los lados marcados como 8, y dentro de este triángulo hay otro triángulo equilátero más pequeño cuyo lado se denota con \( x \). Para resolver \( x \), podemos utilizar el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos que se forman al conectar los puntos medios de los lados del triángulo grande. Si trazamos una línea desde un vértice del triángulo grande al punto medio del lado opuesto, esta línea sería una altura del triángulo grande y también sería la mitad de un lado del triángulo pequeño. La altura \( h \) del triángulo grande se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras en uno de estos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es un lado del triángulo grande (8 unidades), y uno de los catetos es la mitad de un lado del triángulo pequeño (\( x/2 \)). El otro cateto es la altura \( h \) misma. La ecuación sería: \( h^2 + (x/2)^2 = 8^2 \) Ya que es un triángulo equilátero grande, la altura \( h \) también divide al lado opuesto en dos segmentos que suman 8 unidades. Dado que el triángulo más pequeño tiene la misma altura que uno de estos segmentos: \( h = 8 - x/2 \) Ahora podemos expresar \( h^2 \) en función de \( x \): \( (8 - x/2)^2 + (x/2)^2 = 8^2 \) Expandiendo el cuadrado de la binomio obtenemos: \( 64 - 2 \cdot 8 \cdot x/2 + (x/2)^2 + (x/2)^2 = 64 \) Simplificando la ecuación: \( 64 - 8x + x^2/4 + x^2/4 = 64 \) Combinando términos semejantes y eliminando el término constante 64 de ambos lados: \( x^2/2 - 8x = 0 \) Factorizando \( x \) obtenemos: \( x(x/2 - 8) = 0 \) Así que \( x = 0 \) o \( x/2 - 8 = 0 \). Despejando para \( x \) de la segunda ecuación, obtenemos: \( x/2 = 8 \) \( x = 16 \) Dado que el valor de \( x = 0 \) no tiene sentido en este contexto, la longitud del lado del triángulo más pequeño es \( x = 16 \) unidades.
Calculating the Total Length of the Equilateral Triangle's Base
Para resolver esta pregunta, utilizaremos el teorema de Pitágoras, que nos permite encontrar la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si conocemos las longitudes de los otros dos lados. En el triángulo de la imagen, buscaremos primero la longitud del segmento que corresponde a la altura del triángulo equilátero, que también será la hipotenusa para los dos triángulos rectángulos que se forman al trazar la altura. Para el triángulo equilátero con lado \( x \) y altura \( h \), podemos cortar el triángulo por la mitad de la base para obtener dos triángulos rectángulos con una base de \( \frac{x}{2} \) y la misma altura \( h \). Usamos el teorema de Pitágoras \( a^2 + b^2 = c^2 \), donde: \( a \) es uno de los catetos (en este caso, \( \frac{x}{2} \)), \( b \) es el otro cateto (la altura \( h \)), \( c \) es la hipotenusa (en este caso, \( x \)). Entonces, tenemos: \( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2 = x^2 \). Sustituimos el valor conocido de \( h \), que es \( 8 \): \( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 8^2 = x^2 \), \( \frac{x^2}{4} + 64 = x^2 \). Multiplicamos todo por \( 4 \) para deshacernos del denominador: \( x^2 + 256 = 4x^2 \). Restamos \( x^2 \) de ambos lados para obtener: \( 256 = 3x^2 \). Ahora, dividimos ambos lados entre \( 3 \): \( \frac{256}{3} = x^2 \). Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener \( x \): \( x = \sqrt{\frac{256}{3}} \), \( x = \frac{16}{\sqrt{3}} \), \( x = \frac{16\sqrt{3}}{3} \) (racionalizamos el denominador). La longitud de cada lado del triángulo equilátero es \( \frac{16\sqrt{3}}{3} \). Finalmente, para encontrar la longitud total de la base del triángulo equilátero grande (que es la suma de los tres lados de los triángulos pequeños dibujados en el interior, es decir, \( x + 8 + x \)), multiplicamos \( x \) por \( 2 \) y sumamos \( 8 \): \( 2x + 8 = 2\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right) + 8 = \frac{32\sqrt{3}}{3} + 8 \). Para sumar esta expresión con \( 8 \), convertimos \( 8 \) a una fracción con el mismo denominador \( 3 \): \( 8 = \frac{8 \cdot 3}{3} = \frac{24}{3} \). Sumamos \( 8 \) a la expresión anterior: \( \frac{32\sqrt{3}}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} \). Por lo tanto, la longitud total de la base del triángulo equilátero grande es: \( \frac{32\sqrt{3} + 24}{3} \).
Properties of an Equilateral Triangle
The statement in the image is indeed true. An equilateral triangle has three sides of equal length and, consequently, three angles that are equal in measure. By definition, the sum of the angles in any triangle is 180 degrees. Since all angles are equal in an equilateral triangle, each angle must be one third of 180 degrees, which is 60 degrees. Therefore, an equilateral triangle has three angles that are each 60 degrees.
Determining Angles in a Regular Hexagon
Resimde verilen soruyu Türkçe olarak cevaplayacağım. Bu soruda altıgen ABCDEF'nin düzgün altıgen olduğu bilgisi verilmiş. Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120 derecedir. |PF| = |EF| olduğuna göre, FPE üçgeni eşkenar bir üçgen olup, E noktasındaki açı da 60 derece olacaktır. ∠APF = 35 derece verildiğine göre ve APF üçgenindeki diğer iki açı eşit olduğuna göre, bu iki açının toplamı (180 - 35) derece olur, yani 145 derece. Bu iki açı eşit oldukları için her biri 145/2 derecesidir ki bu da 72.5 derecedir. PEF üçgeninin bir dış açısı ise içte kalan iki açısının toplamı kadar olur. EPA açısı, PAF ve PAF'ın diğer eşit açısının toplamı kadar olur, yani 72.5 + 72.5 = 145 derece olur. EPA açısı ile EFP açısı bir doğru üzerinde komşu açılar olduğundan toplamları 180 derece verir. EPA + EFP = 180 145 + m(∠PEF) = 180 m(∠PEF) = 180 - 145 m(∠PEF) = 35 derece Sonuç olarak ∠PEF = 35 derecedir. Seçenekler arasında bu değeri gösteren şık yoktur, bu durumda soruda bir hata olabilir veya resimden eksik veya yanlış bir bilgi aktarılmış olabilir. Ancak verilen bilgiler doğrultusunda EFP açısının ölçüsü 35 derecedir.
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