Question - Calculating Population Growth Using Exponential Growth Formula
Solution:
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir die Formel für exponentielles Wachstum verwenden: \[ P(t) = P_0 \cdot e^{rt} \]Hierbei ist:- $$ P(t) $$ die Bevölkerung nach Zeit $$ t $$- $$ P_0 $$ die anfängliche Bevölkerung (6,1 Mrd. Menschen)- $$ r $$ die jährliche Wachstumsrate (1,5% oder 0,015 als Dezimalzahl)- $$ e $$ die Basis des natürlichen Logarithmus (etwa 2,71828)- $$ t $$ die Zeit in JahrenWir wollen herausfinden, nach wie vielen Jahren $$ t $$ die Bevölkerung auf 12 Milliarden ansteigt, also setzen wir $$ P(t) = 12 $$.Zuerst formen wir die Gleichung um, um $$ t $$ zu isolieren:\[ 12 = 6,1 \cdot e^{0,015t} \]Dann teilen wir beide Seiten durch 6,1:\[ \frac{12}{6,1} = e^{0,015t} \]Anschließend nehmen wir den natürlichen Logarithmus (ln) beider Seiten der Gleichung:\[ \ln\left(\frac{12}{6,1}\right) = \ln\left(e^{0,015t}\right) \]Wir verwenden die Eigenschaft des Logarithmus, dass $$ \ln(e^x) = x $$:\[ \ln\left(\frac{12}{6,1}\right) = 0,015t \]Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 0,015, um $$ t $$ zu finden:\[ t = \frac{\ln\left(\frac{12}{6,1}\right)}{0,015} \]Jetzt berechnen wir $$ t $$ mit einem Taschenrechner oder einer Rechensoftware:\[ t = \frac{\ln\left(\frac{12}{6,1}\right)}{0,015} \approx \frac{\ln(1,967213115)}{0,015} \approx \frac{0,678034403}{0,015} \approx 45,20229353 \]Die Bevölkerung würde also ungefähr nach 45 Jahren die 12-Milliarden-Grenze überschreiten, wenn sie jährlich um 1,5% zunimmt.
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