Calculating Population Growth Using Exponential Growth Formula
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir die Formel für exponentielles Wachstum verwenden:
\[ P(t) = P_0 \cdot e^{rt} \]
Hierbei ist:
- \( P(t) \) die Bevölkerung nach Zeit \( t \)
- \( P_0 \) die anfängliche Bevölkerung (6,1 Mrd. Menschen)
- \( r \) die jährliche Wachstumsrate (1,5% oder 0,015 als Dezimalzahl)
- \( e \) die Basis des natürlichen Logarithmus (etwa 2,71828)
- \( t \) die Zeit in Jahren
Wir wollen herausfinden, nach wie vielen Jahren \( t \) die Bevölkerung auf 12 Milliarden ansteigt, also setzen wir \( P(t) = 12 \).
Zuerst formen wir die Gleichung um, um \( t \) zu isolieren:
\[ 12 = 6,1 \cdot e^{0,015t} \]
Dann teilen wir beide Seiten durch 6,1:
\[ \frac{12}{6,1} = e^{0,015t} \]
Anschließend nehmen wir den natürlichen Logarithmus (ln) beider Seiten der Gleichung:
\[ \ln\left(\frac{12}{6,1}\right) = \ln\left(e^{0,015t}\right) \]
Wir verwenden die Eigenschaft des Logarithmus, dass \( \ln(e^x) = x \):
\[ \ln\left(\frac{12}{6,1}\right) = 0,015t \]
Nun teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 0,015, um \( t \) zu finden:
\[ t = \frac{\ln\left(\frac{12}{6,1}\right)}{0,015} \]
Jetzt berechnen wir \( t \) mit einem Taschenrechner oder einer Rechensoftware:
\[ t = \frac{\ln\left(\frac{12}{6,1}\right)}{0,015} \approx \frac{\ln(1,967213115)}{0,015} \approx \frac{0,678034403}{0,015} \approx 45,20229353 \]
Die Bevölkerung würde also ungefähr nach 45 Jahren die 12-Milliarden-Grenze überschreiten, wenn sie jährlich um 1,5% zunimmt.
