Calculating Differentials for a Given Function
La pregunta está pidiendo calcular el diferencial \( dy \) y el diferencial \( d_{y} \) para la función \( f(x)=e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} \) dado que \( \Delta x = 0,02 \).
Para encontrar \( dy \), necesitamos calcular la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \) y luego usarla para multiplicarla por el cambio en \( x \), que es \( \Delta x \).
Para encontrar \( df \), necesitamos calcular el gradiente de \( f \), es decir, necesitamos encontrar tanto la derivada parcial con respecto a \( x \) como la derivada parcial con respecto a \( y \), y después usarlas para multiplicar por los diferenciales correspondientes \( dx \) y \( dy \).
Voy a proceder a calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \).
Primero, calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \):
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{2ln(x^{2} + 1)} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]
Para esto, primero notamos que \( e^{2ln(x^{2} + 1)} = (x^{2} + 1)^{2} \), simplificando el cálculo.
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]
Usamos la regla de la cadena y la regla del producto para esta derivada:
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x^{2} + 1) \cdot 2x \sin{(x^{2} - 2y)} + (x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot 2x \]
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \]
Ahora calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \):
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( (x^{2} + 1)^{2} \sin{(x^{2} - 2y)} \right) \]
Necesitamos usar la regla de la cadena para esta derivada:
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \]
Con estas derivadas encontradas, ahora podemos calcular \( dy \) y \( df \):
Para \( dy \), usando \( \Delta x \) en lugar \( dx \), ya que no se proporciona un valor para \( dy \), tendríamos algo así:
\[ dy = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \Delta x \]
\[ dy = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot 0,02 \]
Para \( df \) (también notado como \( d_{y} \) en la pregunta, pero esto parece ser un error tipográfico, ya que \( d_{y} \) normalmente representaría una derivada parcial con respecto a \( y \), no un diferencial completo), se calcularía de la siguiente manera:
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot dx + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot dy \]
\[ df = \left( 4x(x^{2} + 1) \sin{(x^{2} - 2y)} + 2x(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \right) \cdot dx - 2(x^{2} + 1)^{2} \cos{(x^{2} - 2y)} \cdot dy \]
Sin valores específicos para \( x \), \( y \), \( dx \), y \( dy \) (excepto \( \Delta x \)), no podemos dar un valor numérico a \( dy \) y \( df \). Debes reemplazar \( dx \) con \( \Delta x \) y usar los valores de \( x \) y \( y \) dados en el problema para encontrar los valores numéricos de \( dy \) y \( df \).
