Question - Calculating Confidence Interval for Sample Mean
Solution:
Para resolver esta pregunta, necesitamos calcular primero el promedio ($$\bar{x}$$) y la desviación estándar (s) de los diámetros dados. Luego usaremos estos valores para calcular el intervalo de confianza del 95% para la media.El conjunto de diámetros es: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 cm.1. Calculamos el promedio ($$\bar{x}$$) de los diámetros:\[\bar{x} = \frac{1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03}{9}\]2. Calculamos la desviación estándar (s) usando la siguiente fórmula:\[s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\]donde $$ x_i $$ es cada diámetro, y $$ n $$ es el número de piezas (en este caso, $$ n = 9 $$).3. Para el intervalo de confianza del 95%, con $$ n - 1 = 8 $$ grados de libertad, buscaremos el valor t crítico en la tabla de la distribución t de Student. El valor crítico para 8 grados de libertad y confianza del 95% suele estar alrededor de 2.306.4. Usamos la fórmula del intervalo de confianza para la media:\[IC = \bar{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]Vamos a hacer los cálculos paso a paso.Primero, calculamos el promedio ($$\bar{x}$$):\[\bar{x} = \frac{1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03}{9}\]\[\bar{x} = \frac{9.05}{9}\]\[\bar{x} = 1.0056 \, \text{cm}\] (aproximado a cuatro decimales)Segundo, calculamos la suma de las diferencias al cuadrado:\[(1.01 - 1.0056)^2 + (0.97 - 1.0056)^2 + (1.03 - 1.0056)^2 + (1.04 - 1.0056)^2 + (0.99 - 1.0056)^2 + (0.98 - 1.0056)^2 + (0.99 - 1.0056)^2 + (1.01 - 1.0056)^2 + (1.03 - 1.0056)^2\]Realizando las operaciones obtenemos la suma de las diferencias al cuadrado. Ahora, calculamos la desviación estándar (s):\[s = \sqrt{\frac{\text{Suma de diferencias al cuadrado}}{8}}\]Finalmente podemos calcular el intervalo de confianza como:\[\text{IC} = 1.0056 \pm 2.306 \cdot \frac{s}{\sqrt{9}}\]Es importante tener en cuenta que necesitas hacer los cálculos de la suma de las diferencias al cuadrado correctamente para obtener la desviación estándar y luego insertar ese valor en la fórmula del intervalo de confianza para completar tu respuesta.
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