Calculating Confidence Interval for Sample Mean
Para resolver esta pregunta, necesitamos calcular primero el promedio (\(\bar{x}\)) y la desviación estándar (s) de los diámetros dados. Luego usaremos estos valores para calcular el intervalo de confianza del 95% para la media.
El conjunto de diámetros es: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01, 1.03 cm.
1. Calculamos el promedio (\(\bar{x}\)) de los diámetros:
\[\bar{x} = \frac{1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03}{9}\]
2. Calculamos la desviación estándar (s) usando la siguiente fórmula:
\[s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\]
donde \( x_i \) es cada diámetro, y \( n \) es el número de piezas (en este caso, \( n = 9 \)).
3. Para el intervalo de confianza del 95%, con \( n - 1 = 8 \) grados de libertad, buscaremos el valor t crítico en la tabla de la distribución t de Student. El valor crítico para 8 grados de libertad y confianza del 95% suele estar alrededor de 2.306.
4. Usamos la fórmula del intervalo de confianza para la media:
\[IC = \bar{x} \pm t_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\]
Vamos a hacer los cálculos paso a paso.
Primero, calculamos el promedio (\(\bar{x}\)):
\[\bar{x} = \frac{1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03}{9}\]
\[\bar{x} = \frac{9.05}{9}\]
\[\bar{x} = 1.0056 \, \text{cm}\] (aproximado a cuatro decimales)
Segundo, calculamos la suma de las diferencias al cuadrado:
\[(1.01 - 1.0056)^2 + (0.97 - 1.0056)^2 + (1.03 - 1.0056)^2 + (1.04 - 1.0056)^2 + (0.99 - 1.0056)^2 + (0.98 - 1.0056)^2 + (0.99 - 1.0056)^2 + (1.01 - 1.0056)^2 + (1.03 - 1.0056)^2\]
Realizando las operaciones obtenemos la suma de las diferencias al cuadrado. Ahora, calculamos la desviación estándar (s):
\[s = \sqrt{\frac{\text{Suma de diferencias al cuadrado}}{8}}\]
Finalmente podemos calcular el intervalo de confianza como:
\[\text{IC} = 1.0056 \pm 2.306 \cdot \frac{s}{\sqrt{9}}\]
Es importante tener en cuenta que necesitas hacer los cálculos de la suma de las diferencias al cuadrado correctamente para obtener la desviación estándar y luego insertar ese valor en la fórmula del intervalo de confianza para completar tu respuesta.
