Approximating Differential Equations with Euler Method
让我们使用Euler方法来近似差分方程的解。已知的差分方程是：
\[ \frac{dy}{dx} = 2xy - x \]
并且给定了初值条件 \( y(1) = 0 \)。我们需要使用Euler方法从 \( x = 1 \) 开始，采取两步，每一步的大小为1，来估算 \( y(3) \)。
Euler方法根据下面的公式来估计函数的值：
\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]
在这里，\( h \) 是步长（在这个问题中，步长 \( h = 1 \)），而 \( f(x, y) \) 是给定的差分方程右侧的表达式。
按照Euler方法的步骤，我们有：
1. 第一步，从 \( x = 1 \) 到 \( x = 2 \):
- 使用初值条件：\( x_1 = 1 \)， \( y_1 = y(1) = 0 \)。
- 代入差分方程： \( f(x_1, y_1) = f(1, 0) = 2(1)(0) - 1 = -1 \)。
- 计算 \( y \) 的下一个值：\( y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 0 + 1 \cdot (-1) = -1 \)。
2. 第二步，从 \( x = 2 \) 到 \( x = 3 \):
- 使用 \( x_2 = 2 \)， \( y_2 = -1 \)。
- 代入差分方程： \( f(x_2, y_2) = f(2, -1) = 2(2)(-1) - 2 = -6 \)。
- 计算 \( y \) 的下一个值：\( y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = -1 + 1 \cdot (-6) = -7 \)。
所以用Euler方法估算的 \( y(3) \approx -7 \)。
问题的选择答案是：
(A) \(\frac{9}{2}\)
(B) \( -\frac{7}{4} \)
(C) 3
(D) 2
正确答案是 \( y(3) = -7 \)，但这个值并不在提供的选项里。看上去像是题目有误或者是答案选项中有误。按照我们的计算，没有任何一个选项与计算结果相匹配。
