Question - Analyzing and Correcting Formulas for Cubes in a Wall
Solution:
Um die Frage in dem Bild zu beantworten, lassen Sie uns die Ansätze von Milena und Kevin betrachten und herausfinden, wer richtig liegt.Milena sagt: $$2n + 2 + 4 \cdot 1$$Kevin sagt: $$3 \cdot n + 1$$Um zu überprüfen, wer recht hat, zählen wir die Würfel in einer der Mauern:Für n=1 (die erste Mauer links) benötigt man 9 Würfel.Für n=2 benötigt man 12 Würfel.Jetzt setzen wir n=1 in beide Formeln ein und sehen, welche Formel 9 gibt, denn das ist die Anzahl der Würfel für n=1.Nach Milenas Formel: $$2 \cdot 1 + 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 2 + 4 = 8$$Nach Kevins Formel: $$3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4$$Keine dieser Formeln gibt uns 9, was bedeutet, dass beide falsch sind.Aber mit n=2:Nach Milenas Formel: $$2 \cdot 2 + 2 + 4 \cdot 1 = 4 + 2 + 4 = 10$$Nach Kevins Formel: $$3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7$$Wiederum keine dieser Formeln gibt uns die korrekte Anzahl von 12 Würfeln für n=2.Eine korrekte Formel, die die Anzahl der Würfel für jede Mauer beschreibt, ist: $$5 + 4 \cdot (n-1)$$, wo $$n$$ die Position der Mauer ist. Wenn wir also n=1 einsetzen, erhalten wir 5 Würfel für die Spitze und für jede weitere Ebene (n-1 mal) fügen wir 4 Würfel hinzu. Für n=1: $$5 + 4 \cdot (1-1) = 5 + 0 = 5$$ Würfel, aber wir müssen die Basis auch bedenken, die 4 weitere Würfel hinzufügt. Deshalb wäre die wirkliche Gesamtanzahl $$5 (oben) + 4 (Basis) = 9$$.Für n=2: $$5 + 4 \cdot (2-1) = 5 + 4 \cdot 1 = 9$$ Würfel in den darüberliegenden Schichten plus 3 zusätzliche Würfel für die zweite Ebene in der Basis, was insgesamt 12 Würfel macht.Die korrekte Formel, um die Anzahl der Würfel aufgrund der Mauerhöhe zu beschreiben, müsste jede Ebene oberhalb der Basis plus der vier Würfel in der Basis berücksichtigen. Somit wäre die richtige Formel: $$4 + 5 \cdot n$$, wo $$n$$ die Höhe der Mauer (ohne Basis) ist.
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