Example Question - analyzing formulas
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing and Correcting Formulas for Cubes in a Wall
Um die Frage in dem Bild zu beantworten, lassen Sie uns die Ansätze von Milena und Kevin betrachten und herausfinden, wer richtig liegt. Milena sagt: \(2n + 2 + 4 \cdot 1\) Kevin sagt: \(3 \cdot n + 1\) Um zu überprüfen, wer recht hat, zählen wir die Würfel in einer der Mauern: Für n=1 (die erste Mauer links) benötigt man 9 Würfel. Für n=2 benötigt man 12 Würfel. Jetzt setzen wir n=1 in beide Formeln ein und sehen, welche Formel 9 gibt, denn das ist die Anzahl der Würfel für n=1. Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 1 + 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 2 + 4 = 8\) Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\) Keine dieser Formeln gibt uns 9, was bedeutet, dass beide falsch sind. Aber mit n=2: Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 2 + 2 + 4 \cdot 1 = 4 + 2 + 4 = 10\) Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\) Wiederum keine dieser Formeln gibt uns die korrekte Anzahl von 12 Würfeln für n=2. Eine korrekte Formel, die die Anzahl der Würfel für jede Mauer beschreibt, ist: \(5 + 4 \cdot (n-1)\), wo \(n\) die Position der Mauer ist. Wenn wir also n=1 einsetzen, erhalten wir 5 Würfel für die Spitze und für jede weitere Ebene (n-1 mal) fügen wir 4 Würfel hinzu. Für n=1: \(5 + 4 \cdot (1-1) = 5 + 0 = 5\) Würfel, aber wir müssen die Basis auch bedenken, die 4 weitere Würfel hinzufügt. Deshalb wäre die wirkliche Gesamtanzahl \(5 (oben) + 4 (Basis) = 9\). Für n=2: \(5 + 4 \cdot (2-1) = 5 + 4 \cdot 1 = 9\) Würfel in den darüberliegenden Schichten plus 3 zusätzliche Würfel für die zweite Ebene in der Basis, was insgesamt 12 Würfel macht. Die korrekte Formel, um die Anzahl der Würfel aufgrund der Mauerhöhe zu beschreiben, müsste jede Ebene oberhalb der Basis plus der vier Würfel in der Basis berücksichtigen. Somit wäre die richtige Formel: \(4 + 5 \cdot n\), wo \(n\) die Höhe der Mauer (ohne Basis) ist.
Analyzing Cube Wall Formulas
Die Aufgabenstellung zeigt zwei verschiedene Mauern, die aus Würfeln bestehen. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena's Formel lautet: 2 * (k + 1). Kevin's Formel lautet: 3 * k + 1. Um zu bestimmen, wer überlegt hat, müssen wir die Anzahl der Würfel in jeder Mauer für ein bestimmtes k (die Anzahl der aufeinanderfolgenden vertikalen Würfelpaare) berechnen und sehen, welche Formel die korrekte Anzahl liefert. Betrachten wir die Mauer A: - Bei Mauer A gibt es 3 vertikale Würfelpaare (k = 3). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (3 + 1) = 2 * 4 = 8. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 3 + 1 = 9 + 1 = 10. Wenn wir Mauer A zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 10 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ A. Betrachten wir die Mauer B: - Bei Mauer B gibt es 2 vertikale Würfelpaare (k = 2). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (2 + 1) = 2 * 3 = 6. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Wenn wir Mauer B zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 7 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ B. Kevin's Formel liefert in beiden Fällen die richtige Anzahl von Würfeln. Somit hat Kevin überlegt. Um die Antwort zu begründen: Kevin's Formel berücksichtigt den einzelnen Würfel an der Spitze jeder Mauer (das "+1" in seiner Formel), der bei jeder Wand unabhängig von der Anzahl der vertikalen Würfelpaare hinzukommt. Milena's Formel hingegen berechnet nur die Anzahl der Würfel für Mauern der Typ B korrekt (wenn es keinen einzelnen Würfel oben gibt), da sie die vertikalen Würfelpaare und den einzigen horizontalen Würfel an der Basis zählt, aber nicht den einzelnen Würfel oben.
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