Example Question - mathematical formulas
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Different Structured Walls Built with Dice
Jemand hat mit Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. - Milena: \(2 \times (n + 1)\) - Kevin: \(3 + 2n\) Milena und Kevin haben ihre Überlegungen vertauscht. a) Wer hat wie überlegt? b) Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die gleiche Anzahl Würfel? Begründe deine Antwort. --- a) Um herauszufinden, wer wie überlegt hat, schauen wir uns die Struktur der beiden Würfelmauern A und B an. Wir können sehen, dass Mauer A in jeder Ebene 2 Würfel mehr als die Anzahl der Ebenen hat (also für n Ebenen insgesamt \(2 \times (n + 1)\) Würfel). Mauer B hingegen beginnt mit 3 Würfeln an der Basis und wächst dann in jeder neuen Ebene um weitere 2 Würfel (also insgesamt \(3 + 2n\), wobei n die Anzahl der zusätzlichen Ebenen über der Basis ist). Kevin überlegt daher wie Mauer A, denn seine Formel \(3 + 2n\) repräsentiert das Wachstum von Mauer B. Demgemäß hat Milena wie Mauer B überlegt, da ihre Formel \(2 \times (n + 1)\) die Struktur von Mauer A beschreibt. b) Um zu prüfen, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die gleiche Anzahl Würfel liefern, können wir die Terme gleichsetzen: \(2 \times (n + 1) = 3 + 2n \) Verteile das 2 auf der linken Seite der Gleichung: \(2n + 2 = 3 + 2n\) Wenn wir jetzt auf beiden Seiten \(2n\) abziehen, wird ersichtlich, dass die Terme nicht übereinstimmen: \(2 \cancel{2n} + 2 = 3 + \cancel{2n}\) \(2 \neq 3\) Das zeigt, dass die Terme nicht für jede Länge n die gleiche Anzahl von Würfeln liefern, weil wenn wir für n=0 beide Formeln auswerten, erhalten wir bei Milena 2 Würfel und bei Kevin 3 Würfel. Also, die Antwort ist, dass sie nicht für jede Länge n die gleiche Anzahl von Würfeln liefern, und der Grund dafür ist, dass die Basis von Mauer B (welche Kevin beschreibt) bereits mit 3 Würfeln beginnt, im Gegensatz zu Mauer A (welche Milena beschreibt), die mit 2 Würfeln beginnt und dann für jede zusätzliche Ebene um 2 Würfel erhöht wird, unabhängig von der Anzahl der Ebenen.
Analyzing and Correcting Formulas for Cubes in a Wall
Um die Frage in dem Bild zu beantworten, lassen Sie uns die Ansätze von Milena und Kevin betrachten und herausfinden, wer richtig liegt. Milena sagt: \(2n + 2 + 4 \cdot 1\) Kevin sagt: \(3 \cdot n + 1\) Um zu überprüfen, wer recht hat, zählen wir die Würfel in einer der Mauern: Für n=1 (die erste Mauer links) benötigt man 9 Würfel. Für n=2 benötigt man 12 Würfel. Jetzt setzen wir n=1 in beide Formeln ein und sehen, welche Formel 9 gibt, denn das ist die Anzahl der Würfel für n=1. Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 1 + 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 2 + 4 = 8\) Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\) Keine dieser Formeln gibt uns 9, was bedeutet, dass beide falsch sind. Aber mit n=2: Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 2 + 2 + 4 \cdot 1 = 4 + 2 + 4 = 10\) Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\) Wiederum keine dieser Formeln gibt uns die korrekte Anzahl von 12 Würfeln für n=2. Eine korrekte Formel, die die Anzahl der Würfel für jede Mauer beschreibt, ist: \(5 + 4 \cdot (n-1)\), wo \(n\) die Position der Mauer ist. Wenn wir also n=1 einsetzen, erhalten wir 5 Würfel für die Spitze und für jede weitere Ebene (n-1 mal) fügen wir 4 Würfel hinzu. Für n=1: \(5 + 4 \cdot (1-1) = 5 + 0 = 5\) Würfel, aber wir müssen die Basis auch bedenken, die 4 weitere Würfel hinzufügt. Deshalb wäre die wirkliche Gesamtanzahl \(5 (oben) + 4 (Basis) = 9\). Für n=2: \(5 + 4 \cdot (2-1) = 5 + 4 \cdot 1 = 9\) Würfel in den darüberliegenden Schichten plus 3 zusätzliche Würfel für die zweite Ebene in der Basis, was insgesamt 12 Würfel macht. Die korrekte Formel, um die Anzahl der Würfel aufgrund der Mauerhöhe zu beschreiben, müsste jede Ebene oberhalb der Basis plus der vier Würfel in der Basis berücksichtigen. Somit wäre die richtige Formel: \(4 + 5 \cdot n\), wo \(n\) die Höhe der Mauer (ohne Basis) ist.
Combinatorics Formulas: Combinations and Permutations
Das Bild zeigt eine Tabelle mit den wichtigsten Formeln für Kombinatorik: Kombinationen und Variationen, jeweils mit und ohne Wiederholung und ob die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung ist oder nicht. Die mathematischen Formeln in der Tabelle sind: - Kombination ohne Wiederholung (Reihenfolge nicht bedeutsam, keine Wiederholungen): \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - Kombination mit Wiederholung (Reihenfolge nicht bedeutsam, Wiederholungen zugelassen): \(\binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\) - Variation ohne Wiederholung (Reihenfolge bedeutsam, keine Wiederholungen): \(\frac{n!}{(n-k)!}\) - Variation mit Wiederholung (Reihenfolge bedeutsam, Wiederholungen zugelassen): \(n^k\) Die Formeln werden verwendet, um die Anzahl der möglichen Kombinationen oder Variationen zu bestimmen, je nachdem, ob die Reihenfolge wichtig ist und ob Elemente wiederholt werden dürfen. Die Aufgabe scheint zu sein, zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten es in verschiedenen Situationen gibt. Leider kann ich den Text der Aufgaben nicht vollständig lesen, weil nicht der ganze Text im Bild sichtbar ist. Jedoch kann ich erklären, wie die Formeln funktionieren: 1. Ein Sportverein mit 35 Mitgliedern möchte 6 Mitglieder für einen Wettkampf aussuchen. Dies wäre eine Kombination ohne Wiederholung, weil es nicht darauf ankommt, in welcher Reihenfolge die Teammitglieder gewählt werden und jedes Mitglied nur einmal gewählt werden kann. Die Formel hierfür wäre: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), wobei n die Anzahl der Gesamtmitglieder (35) ist und k die Anzahl der ausgewählten Mitglieder (6). 2. Die anderen Teilaufgaben kann ich ohne den vollständigen Text leider nicht lösen. Wenn Sie mir den vollständigen Aufgabentext geben, könnte ich Ihnen eine ausführliche Lösung anbieten.
House Diagram - Area and Perimeter Calculation
The image shows a diagram of a house with different parts labeled and measurements given. The question in the image is not entirely clear due to the resolution, but it appears to include some mathematical formulas and asks to solve for given values of 'x' and 'y', possibly related to areas or perimeters. From what I can infer, the label "Area = ?" and "Perimeter = ?" suggests that the question is asking to calculate the area and the perimeter of the given shape. There are some formulas provided which seem to be: Area = \(l \times w + \frac{1}{2} \times (l \times h)\) And Perimeter = \(2 \times (l + w) + 2 \times (l + h)\) To solve these, we'd need specific measurements for length (l), width (w), and height (h). These measurements are supposed to be provided on the diagram, but due to the low resolution and cut-off text, they are unfortunately illegible in the provided image. If you can provide the required measurements for length, width, and height (if they are indeed what's being asked for), I can help you calculate the area and perimeter as specified by the formulas in the image. Alternatively, if you can upload a clearer image or provide the text in the question, I'll be able to give you a more precise solution.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com