Example Question - function transformation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of a Trigonometric Function
<p>Задача связана с анализом графика тригонометрической функции и определением соответствующих углов и значения функции.</p> <p>Для решения используем свойства тригонометрических функций и их графиков.</p> <p>Сначала нужно определить, для каких x функция \( f(x) = 3\cos(x) - 1 \) положительна.</p> <p>Функция \( \cos(x) \) положительна в первом и четвертом квадрантах, т.е. \( \cos(x) > 0 \) для \( -\pi/2 + 2k\pi < x < \pi/2 + 2k\pi \), где \( k \) — целое число.</p> <p>Теперь рассмотрим уравнение \( 3\cos(x) - 1 = 0 \) и найдем его корни.</p> <p>\( 3\cos(x) = 1 \)</p> <p>\( \cos(x) = \frac{1}{3} \)</p> <p>Поскольку \( \cos(x) \) является убывающей функцией от \( 0 \) до \( \pi \), и \( \frac{1}{3} \) находится между \( \cos(0) = 1 \) и \( \cos(\pi/2) = 0 \), корень уравнения будет находиться в этом интервале. Обозначим его \( x_0 \), и тогда \( x_0 \in (0, \pi/2) \).</p> <p>Функция \( f(x) \) будет положительной слева и справа от точки \( x_0 \) на интервалах, где \( \cos(x) > 0 \). Тогда:</p> <p>\( f(x) > 0 \) для \( 2k\pi < x < x_0 + 2k\pi \) и \( x_0 + 2k\pi < x < \pi + 2k\pi \).</p> <p>Для нахождения точной величины \( x_0 \), нужно решить тригонометрическое уравнение, для чего можно воспользоваться численными методами или приближенными вычислениями, так как точное аналитическое решение в элементарных функциях получить невозможно.</p>
Transformation of Function Graphs
<p>К сожалению, изображение не содержит достаточно информации для предоставления точного решения. Чтобы решить эту задачу, мне нужно увидеть графики функций \( f(x) \) и \( g(x) \), а также знать, как они связаны через простое преобразование.</p> <p>Для части a) общие виды преобразований включают: 1. Сдвиг по вертикали: \( f(x) + k \) 2. Сдвиг по горизонтали: \( f(x + h) \) 3. Растяжение по вертикали: \( a \cdot f(x) \) 4. Растяжение по горизонтали: \( f(b \cdot x) \) 5. Отражение по вертикали: \( -f(x) \) 6. Отражение по горизонтали: \( f(-x) \)</p> <p>Для части b), чтобы построить \( y=f(x-2)-1 \), нужно сделать следующее: 1. Сдвинуть график \( f(x) \) на 2 единицы вправо по оси x. 2. Сдвинуть результат вниз на 1 единицу по оси y.</p>
Understanding a Function Transformation
The image contains a question regarding the transformation of the function \( f(x) = x^2 \) when modified to \( g(x) = 4 f(x) - 4x^2 \). Given the function \( g(x) = 4 f(x) - 4x^2 \), we can substitute \( f(x) \) with \( x^2 \) to rewrite \( g(x) \) as: \( g(x) = 4(x^2) - 4x^2 \) This simplifies to: \( g(x) = 4x^2 - 4x^2 \) \( g(x) = 0 \) The graph of \( g(x) \) will thus be a horizontal line at \( y = 0 \), which is not one of the given options. However, it is clear that the original transformation intended before simplification is equivalent to multiplying the function \( f(x) \) by 4, which would stretch the graph vertically by a factor of 4 and then subtracting \( 4x^2 \) would do nothing since it cancels out the stretching. It seems there might be a mistake in the question since the transformation does not lead to a vertical stretch, shift, or compression but rather to the graph being a horizontal line. However, if we consider the given options and interpret the transformation as it might have been intended, to be \( g(x) = 4 \cdot (f(x) - x^2) \), then the correct answer would be: A. The graph of \( g(x) \) is the graph of \( f(x) \) stretched vertically by a factor of 4. This interpretation involves taking the original function \( f(x) = x^2 \), subtracting \( x^2 \) from it (which, again, simplifies to zero), and multiplying the result by 4. But as previously noted, there seems to be an error in the question since the transformation provided does not result in a visual change to the graph of \( f(x) \) as given by the options.
Transformation of Graphs
The function g(x) = 4f(x) - 4 is derived from the function f(x) = x^3 by applying two transformations. First, the function is scaled vertically by a factor of 4, which corresponds to the multiplication by 4: that's 4f(x). Secondly, the function is shifted downwards by 4 units, which corresponds to the subtraction of 4: that's -4. So the correct answer is: D. The graph of g(x) is the graph of f(x) shifted down 4 units.
Transformation of Functions
The equation provided suggests a transformation of the base function \( f(x) \) applied to produce the new function \( y \). The transformation can be described as follows: 1. Horizontal shift: The expression \( (x - 5) \) indicates that the graph of \( f(x) \) is shifted to the right by 5 units. Therefore, \( B = 5 \) (right). 2. Vertical shift: The \( +8 \) at the end of the function indicates that the graph is shifted upwards by 8 units. So, \( D = 8 \) (up). There is no indication in the equation of a horizontal stretch/shrink or reflection (which would be indicated by a multiplier in front of the \( x \) term inside the function), nor is there a vertical stretch/shrink or reflection (which would be indicated by a coefficient in front of the \( f(x) \) term). Thus, we can assume no changes have been made in these aspects. Consequently, \( A \) (representing horizontal stretch/shrink and reflection) and \( C \) (representing vertical stretch/shrink and reflection) remain unchanged: 3. \( A = 1 \) (no horizontal stretch/shrink or reflection). 4. \( C = 1 \) (no vertical stretch/shrink or reflection). Transformations: - A horizontal shift to the right by 5 units. - A vertical shift upwards by 8 units. - No horizontal stretch/shrink or reflection. - No vertical stretch/shrink or reflection. Therefore, your answers will be: A = 1, B = 5, C = 1, D = 8
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com