Example Question - vector operations
Here are examples of questions we've helped users solve.
Vector Operations in Triangles
No se proporciona una pregunta específica en la imagen, pero parece ser un problema de vectores en el que se muestra un triángulo con vectores a lo largo de sus lados. Normalmente, estos problemas piden que encuentres la suma de vectores o que expreses un vector en términos de otros. Si la pregunta es encontrar la suma de los vectores mostrados en el triángulo, asumiendo que los vectores \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), y \( \vec{c} \) representan los lados del triángulo y tienen la misma dirección de los lados correspondientes, la suma de los vectores que forman un triángulo cerrado es cero, lo cual se conoce como la Regla del Polígono en la suma de vectores. Matemáticamente, se representaría como: \[ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \] Si se requiere expresar uno de los vectores en términos de los otros dos, se puede reorganizar esta ecuación para resolver para cualquiera de los vectores. Por ejemplo, si queremos expresar \( \vec{c} \) en términos de \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \), simplemente restamos \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) de ambos lados de la ecuación para obtener: \[ \vec{c} = -\vec{a} - \vec{b} \] Pero sin una pregunta clara, no puedo proporcionar una respuesta más específica a la imagen. Si necesitas resolver otra cuestión relacionada con esta imagen, por favor proporciona la pregunta específica.
Vector Operations and Magnitudes
Természetesen, segítek megoldani a feladatot. Az \( a \) és \( b \) vektorokat már megadták nekünk: \[ a = 5i - 12j \] \[ b = 4i - 3j \] **a) rész:** Az \( a + b \) vektor koordinátái: \[ a + b = (5i - 12j) + (4i - 3j) \] \[ a + b = (5 + 4)i + (-12 - 3)j \] \[ a + b = 9i - 15j \] A \( 3a + 2b \) vektor koordinátái: \[ 3a + 2b = 3(5i - 12j) + 2(4i - 3j) \] \[ 3a + 2b = (3 \cdot 5)i + (3 \cdot -12)j + (2 \cdot 4)i + (2 \cdot -3)j \] \[ 3a + 2b = 15i - 36j + 8i - 6j \] \[ 3a + 2b = (15 + 8)i + (-36 - 6)j \] \[ 3a + 2b = 23i - 42j \] **b) rész:** A vektorok hosszát vagy abszolút értéket a következő képlettel számoljuk: \[ |v| = \sqrt{x^2 + y^2} \] ahol \( v = xi + yj \). \( |a| \) értéke: \[ |a| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \] \[ |a| = \sqrt{25 + 144} \] \[ |a| = \sqrt{169} \] \[ |a| = 13 \] \( |b| \) értéke: \[ |b| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ |b| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |b| = \sqrt{25} \] \[ |b| = 5 \] Végül a \( |a + b| \) értéke: \[ |a + b| = \sqrt{(9)^2 + (-15)^2} \] \[ |a + b| = \sqrt{81 + 225} \] \[ |a + b| = \sqrt{306} \] \[ |a + b| = \sqrt{9 \cdot 34} \] \[ |a + b| = 3\sqrt{34} \] (közelítőleg \( |a + b| \) értéke kerekítve lesz ami a gyök 34-nek felel meg, mivel a gyök alatti szám nem négyzetszám) Ez adja a részfeladatok megoldását.
Vector Operations and Magnitudes
Adottak az \( a = 5i - 12j \) és \( b = 4i - 3j \) vektorok. a) A \( a + b \) és \( 3a; 2b \) vektorok koordinátáit úgy számoljuk ki, hogy összeadjuk (vagy megszorozzuk a megfelelő skalárral) a megadott vektorok megfelelő \( i \) és \( j \) komponenseit. \( a + b = (5i - 12j) + (4i - 3j) \\ = (5i + 4i) + (-12j - 3j) \\ = 9i - 15j \) Tehát \( a + b \) vektor koordinátái: \( 9i - 15j \). \( 3a = 3(5i - 12j) \\ = 3 \cdot 5i - 3 \cdot 12j \\ = 15i - 36j \) \( 2b = 2(4i - 3j) \\ = 2 \cdot 4i - 2 \cdot 3j \\ = 8i - 6j \) Tehát \( 3a \) vektor koordinátái: \( 15i - 36j \), és \( 2b \) vektor koordinátái: \( 8i - 6j \). b) A vektor hosszát (abszolut értékét) a következő képlettel számolhatjuk ki: \( |v| = \sqrt{i^2 + j^2} \) Most számoljuk ki \( |a|, |b|, |a + b| \) értékét. \( |a| = \sqrt{(5i)^2 + (-12j)^2} \\ = \sqrt{25 + 144} \\ = \sqrt{169} \\ = 13 \) \( |b| = \sqrt{(4i)^2 + (-3j)^2} \\ = \sqrt{16 + 9} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \) \( |a + b| = |9i - 15j| \\ = \sqrt{(9i)^2 + (-15j)^2} \\ = \sqrt{81 + 225} \\ = \sqrt{306} \\ \approx 17.49 \) Tehát \( |a| \) értéke 13, \( |b| \) értéke 5, és \( |a + b| \) értéke körülbelül 17.49.
Vectorial Exercise Problem
Bien sûr, je vais vous aider à résoudre cette question : Pour rappel, la question nous demande de considérer une épreuve vectorielle avec un repère orthonormé (O; i, j). Elle donne les points A(3; 2), B(-1; 4), C(1 ; -3) et D(-4 ; -1). La tâche est de : 1. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure de l'exercice. 2. Calculer les coordonnées du vecteur AC. 3. Soit E(-2 ; -2). Placer le point E et montrer que CE est le milieu de [BD]. 4. Calculer les coordonnées du point F tel que ABCD soit un parallélogramme. 5. Placer le point D' sur la figure. 6. Prouver, pour chaque information : a. Le quadrilatère ABCD est un rectangle. b. Les vecteurs ED et AC sont colinéaires. c. Les points D, E, et F (1 ; 6) sont alignés. Commençons: 2. Pour calculer les coordonnées du vecteur AC, nous soustrayons les coordonnées de A des coordonnées de C : AC = C - A = (1 - 3; -3 - 2) = (-2; -5) 3. Pour montrer que CE est le milieu de [BD], nous devons prouver que les vecteurs BE et ED ont les mêmes coordonnées. Calculons d'abord les coordonnées de BE : BE = E - B = (-2 - (-1); -2 - 4) = (-1; -6) Maintenant, calculons les coordonnées de ED : ED = D - E = (-4 - (-2); -1 - (-2)) = (-2; 1) Pour que E soit le milieu de [BD], il faudrait que BE = ED, ce qui n'est pas le cas ici. Cependant, si nous regardons la question 3 plus attentivement, il semble qu'il y ait une erreur dans la formulation. Il est demandé de montrer que CE est le milieu de [BD], ce qui n'est pas possible avec les coordonnées données. En revanche, nous pouvons montrer que E est le milieu de [BD] en trouvant le milieu M de [BD] et vérifiant qu'il a les mêmes coordonnées qu'E. Le milieu M de [BD] est donné par: M = ((-1 - 4)/2 ; (4 - 1)/2) = (-5/2; 3/2) = (-2,5; 1,5) Comme E a pour coordonnées (-2 ; -2), E n'est manifestement pas le milieu de [BD]. Je continuerai avec les étapes 4 et suivantes après avoir corrigé cette erreur apparente. Pouvez-vous confirmer si les coordonnées de E sont correctes ou si nous devrions utiliser le milieu entre B et D?
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