Example Question - unique digits
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Four-Digit Numbers with Unique Digits and Including Digit 4
Die in der Abbildung gestellte Frage lautet, wie viele vierstellige Zahlen es gibt, die: a) ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen und b) die Ziffer 4 enthalten. Lass uns zuerst Teil a) lösen: Eine vierstellige Zahl besteht aus den Stellen Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Für jede dieser Stellen können verschiedene Ziffern (0-9) gewählt werden, aber da die Zahlen unterschiedliche Ziffern beinhalten sollen, verringern sich die Optionen mit jeder gewählten Ziffer. Für die erste Stelle, die Tausenderstelle, kann keine 0 gewählt werden (denn sonst wäre es keine vierstellige Zahl), also bleiben 9 Möglichkeiten (1-9). Für die zweite Stelle bleiben dann noch 9 Möglichkeiten (die 10 minus der bereits gewählten Ziffer für die Tausenderstelle). Für die dritte Stelle bleiben dann 8 Möglichkeiten, und für die vierte Stelle 7. Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist also: 9 (Tausender) × 9 (Hunderter) × 8 (Zehner) × 7 (Einer) = 4536. Nun zu Teil b): Hier sind wir an vierstelligen Zahlen interessiert, die die Ziffer 4 beinhalten. Wir behandeln die Stelle, an der die 4 gesetzt wird, und die übrigen Stellen separat. Die Ziffer 4 könnte an einer von vier Stellen stehen, das heißt: 1. Tausenderstelle, 2. Hunderterstelle, 3. Zehnerstelle, 4. Einerstelle. Für jede dieser Stellen gibt es unterschiedliche Fälle zu betrachten. 1. Wenn die 4 auf der Tausenderstelle ist, können die restlichen drei Stellen aus den Ziffern 0-9 mit Ausnahme der 4 gewählt werden. Das bedeutet, dass für jede der drei Stellen 9 Möglichkeiten existieren, also: 1 (da die 4 fix ist) × 9 (Hunderter) × 9 (Zehner) × 9 (Einer) = 729. 2. Wenn die 4 auf der Hunderterstelle ist, gilt Ähnliches, aber wir müssen berücksichtigen, dass die Tausenderstelle nicht 0 sein darf und auch keine 4 sein darf. Das ergibt also: 1 × 8 × 9 × 9 = 648. 3. Ähnlich verhält es sich, wenn die 4 auf der Zehner- oder Einerstelle steht: 1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Zehnerstelle) 1 × 8 × 8 × 9 = 576 (für die 4 auf der Einerstelle). Addierst du all diese Möglichkeiten zusammen, erhältst du die Gesamtanzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten: 729 + 648 + 576 + 576 = 2529. Zusammengefasst: a) Die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Zahlen, die aus unterschiedlichen Ziffern bestehen, ist 4536. b) Die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die die Ziffer 4 beinhalten, ist 2529.
Combinations and Permutations with Three-Digit Numbers
Diese Aufgabe beschäftigt sich mit dem Konzept von Kombinationen und Permutationen. Für die spezifische Frage Nummer 3 geht es darum, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. Hier ist die Lösung der Frage auf Deutsch: a. Um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dreistellige Zahlen mit den gegebenen Bedingungen zu bilden, betrachten wir zuerst die Auswahl der Ziffern. Wir haben insgesamt 6 Ziffern zur Auswahl: 0, 1, 2, 3, 4 und 5. Da keine Ziffer wiederholt werden kann und die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge sein müssen, ist die Ziffer, die wir zuerst wählen, immer die kleinste, die zweite Wahl ist die mittlere und die dritte Wahl ist die größte Ziffer. Wir wählen die erste Ziffer: Es gibt fünf Möglichkeiten, weil wir die 0 nicht als erste Ziffer einer dreistelligen Zahl verwenden können. Wir wählen die zweite Ziffer: Nach der Auswahl der ersten Ziffer gibt es noch vier verbleibende Ziffern zur Auswahl. Wir wählen die dritte Ziffer: Es bleiben nun drei Ziffern zur Auswahl. Die Anzahl der Möglichkeiten dreistellige Zahlen zu bilden, ohne Ziffernwiederholung und mit steigender Sortierung der Zahlen, ist gleich der Anzahl der möglichen Kombinationen von drei unterschiedlichen Ziffern aus einer Menge von fünf Ziffern (ohne die 0 zu berücksichtigen). Die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung lautet C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), wobei n die Gesamtzahl der verfügbaren Optionen ist und k die Anzahl der zu wählenden Optionen. C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10. Es gibt also insgesamt 10 Möglichkeiten, die Zahlen zu bilden. b. Um die Zahlen zu präsentieren, listen wir einfach alle Kombinationen von drei Ziffern auf, die diese Bedingungen erfüllen: - 123 - 124 - 125 - 134 - 135 - 145 - 234 - 235 - 245 - 345 Dies sind alle dreistelligen Zahlen, die aus den Ziffern 0 bis 5 gebildet werden können, ohne Ziffernwiederholung und bei denen jede folgende Ziffer größer als die vorherige ist.
Calculation of Four-Digit Numbers with Unique Digits and Containing the Digit 4
Um diese Frage zu beantworten, betrachten wir beide Teile separat: a. Wir möchten die Anzahl der vierstelligen Zahlen bestimmen, die ausschließlich aus unterschiedlichen Ziffern bestehen. Für eine vierstellige Zahl kann die erste Ziffer (die Tausenderstelle) keine 0 sein, also gibt es 9 Möglichkeiten (1-9). Für die Hundertstelle haben wir noch 9 Möglichkeiten (0-9 außer die bereits verwendete Ziffer), für die Zehnerstelle 8 Möglichkeiten und für die Einerstelle noch 7 Möglichkeiten. Das ergibt insgesamt 9 x 9 x 8 x 7 Zahlen, was 4536 ist. b. Für Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten, müssen wir etwas anders vorgehen, weil die 4 an jeder der vier Stellen stehen könnte. Zuerst bestimmen wir, wie viele vierstellige Zahlen es insgesamt gibt ohne Einschränkungen bezüglich der Wiederholung von Ziffern. Die erste Ziffer kann von 1 bis 9 sein (9 Möglichkeiten), und jede der folgenden Ziffern kann von 0 bis 9 sein (10 Möglichkeiten), also gibt es 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 vierstellige Zahlen insgesamt. Nun berechnen wir die Anzahl der Zahlen, die keine 4 enthalten. Für jede Stelle haben wir jetzt 9 Optionen (da die 4 ausgeschlossen ist). Also gibt es 9 x 9 x 9 x 9 = 6561 solcher Zahlen. Um die Anzahl der Zahlen zu bestimmen, die eine 4 enthalten, subtrahieren wir die Zahl der Zahlen ohne eine 4 von der Gesamtzahl der vierstelligen Zahlen: 9000 (gesamt) - 6561 (ohne 4) = 2439 Zahlen, die die Ziffer 4 enthalten.
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