Question - Calculating Distance between Ships Using Trigonometry
Solution:
Para resolver la pregunta en la imagen, debemos encontrar la distancia $$ d $$ entre los barcos A y B, utilizando trigonometría.Según la información proporcionada y el dibujo, parece que debemos aplicar la ley de los cosenos. La ley de los cosenos relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. La fórmula es:\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]donde $$ c $$ es el lado opuesto al ángulo $$ C $$, $$ a $$ y $$ b $$ son los otros lados del triángulo, y $$ \cos(C) $$ es el coseno del ángulo $$ C $$.En nuestro caso, tenemos un triángulo con lados de $$ 3 $$ km y $$ 1.5 $$ km, y un ángulo de $$ 42 $$ grados entre ellos. Queremos hallar $$ d $$, el lado opuesto al ángulo de $$ 42 $$ grados. Aplicando la ley de los cosenos:\[ d^2 = 3^2 + 1.5^2 - 2(3)(1.5) \cdot \cos(42^\circ) \]Calculamos $$ \cos(42^\circ) $$ y sustituimos los valores:\[ d^2 = 9 + 2.25 - 2(3)(1.5) \cdot \cos(42^\circ) \]\[ d^2 = 11.25 - 9 \cdot \cos(42^\circ) \]Ahora necesitamos calcular $$ \cos(42^\circ) $$, que aproximadamente es $$ 0.743 $$, y sustituirlo en la ecuación:\[ d^2 = 11.25 - 9(0.743) \]\[ d^2 = 11.25 - 6.687 \]\[ d^2 = 4.563 \]Tomando la raíz cuadrada de ambos lados para obtener $$ d $$:\[ d = \sqrt{4.563} \]\[ d \approx 2.136 km \]Entonces, la distancia $$ d $$ entre los barcos A y B es aproximadamente $$ 2.136 $$ kilómetros.
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