Example Question - sum of cubes
Here are examples of questions we've helped users solve.
Factoring Polynomial Expressions
<p>1) \(x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1\)</p> <p>Phân tích thành nhân tử \(x^2\) từ các hạng tử \(x^4, x^3, x^2:\)</p> <p>\(=x^2(x^2 + 6x + 7) - (6x - 1)\)</p> <p>Phát hiện hạng tử \(x^2 + 6x + 7\) chưa thể phân tích nhân tử được và \(6x - 1\) không thể hiện dấu hiệu nhân tử chung với nhóm đầu tiên, nên ta thử phân tích hạng tử \(x^2(x^2 + 6x + 7)\) như một hằng đẳng thức (ví dụ: hằng đẳng thức bình phương của tổng hoặc hiệu).</p> <p>Tuy nhiên, không có hằng đẳng thức nào áp dụng được ở đây. Do đó, dường như phân tích của phần 1 không thể hoàn thành theo cách thông thường. Nếu có một lỗi đánh máy và nếu không, phần này cần phương pháp phức tạp hơn để phân tích nhân tử hoặc không thể phân tích dựa vào kiến thức cơ bản.</p> <p>2) \((x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)^2 - (xy + yz + zx)^2\)</p> <p>Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\):</p> <p>\(= (x^2 + y^2 + z^2 + (xy + yz + zx)) \cdot (x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx))\)</p> <p>Ta thấy \(x^2 + y^2 + z^2\) và \(xy + yz + zx\) đều là các hạng tử trong công thức tổng bình phương:</p> <p>\((x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)\)</p> <p>Từ đây ta có:</p> <p>\(= (x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) - (xy + yz + zx)) \cdot ((x + y + z)^2 - 2(xy + yz + zx) - (xy + yz + zx))\)</p> <p>\(= (x + y + z)^2 \cdot (x + y + z - (xy + yz + zx))\)</p> <p>Kết luận, phần thứ hai có thể phân tích được nếu ta thực hiện các bước như trên, nhưng phần thứ nhất có thể chứa lỗi hoặc cần phương pháp tiếp cận khác.</p>
Polynomial Factorization Problem
<p>Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành phân tích từng đa thức một:</p> <p>1/ \(x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1\)</p> <p>Đường tiếp cận thông thường là nhận thấy đây là dạng tổng của hình lập phương:</p> <p>\((x^2)^2 + 2 \cdot 3x(x^2) + (3x)^2 - 2 \cdot (x)(3x) + 1^2\)</p> <p>Điều này gợi nhớ đến công thức tổng của hai lập phương \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), và ta có thể viết lại đa thức theo dạng:</p> <p>\((x^2 + 3x + 1)^2 - (2x \cdot 1)^2\)</p> <p>Điều này dẫn đến việc sử dụng công thức hiệu của hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\), từ đó ta có:</p> <p>\((x^2 + 3x + 1 + 2x)(x^2 + 3x + 1 - 2x)\)</p> <p>Đơn giản hóa các biểu thức:</p> <p>\((x^2 + 5x + 1)(x^2 + x + 1)\)</p> <p>2/ \( (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)^2 - (xy + yz + zx)^2 \)</p> <p>Đây cũng là dạng của công thức hiệu của hai bình phương như trên:</p> <p>\((x + y + z)^2 - (xy + yz + zx)^2\)</p> <p>Ta có thể viết lại đa thức như sau:</p> <p>\((x + y + z + xy + yz + zx)(x + y + z - (xy + yz + zx))\)</p> <p>Đơn giản hóa:</p> <p>\((x + y + z + xy + yz + zx)(z - (xy + yz - zx))\)</p> <p>Biểu thức này không thể đơn giản hóa thêm mà không có thông tin cụ thể về \( x, y, z \), do đó đây là kết quả cuối cùng của phân tích.</p>
Solving an Expression with Sum of Cubes
The image is rotated; I'll provide the steps to reach the solution as if the image were in the correct orientation. Given: a^2/b + b^2/a = ? To find the above expression, we combine the terms over a common denominator: Step 1: a^2/b + b^2/a = (a^3 + b^3) / (ab) Then, by applying the sum of cubes formula a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), we simplify the expression: Step 2: (a^3 + b^3) / (ab) = [(a + b)(a^2 - ab + b^2)] / (ab) Finally, we factor out a from the first term and b from the second term in the numerator: Step 3: [(a + b)(a^2 - ab + b^2)] / (ab) = (a + b)(a - b + b) / b + (a + b)(a + a - b) / a This simplifies to: Step 4: (a + b)(a) / b + (a + b)(b) / a Now we split the terms to simplify further: Step 5: a(a + b) / b + b(a + b) / a Separate the terms: Step 6: a^2/b + ab/b + ab/a + b^2/a Further simplification: Step 7: a^2/b + a + a + b^2/a Combine like terms: Step 8: a^2/b + 2a + b^2/a And if required to write as a single fraction: Step 9: (a^3 + 2a^2b + b^3) / ab This represents the expression in terms of a single fraction, but the final simplified form is as mentioned in step 8: Final Answer: a^2/b + 2a + b^2/a
Simplifying a Fraction with Sum of Cubes
La expresión matemática en la imagen es una fracción que tiene un binomio en el numerador y una suma de un término cúbico \( x^3 \) y un número 216 en el denominador. La fracción es: \[ \frac{x + 6}{x^3 + 216} \] Para resolver esta expresión, es útil notar que el denominador es una suma de dos cubos, ya que \( 216 = 6^3 \). La suma de dos cubos puede factorizarse como sigue: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] En este caso, \( a = x \) y \( b = 6 \), por lo tanto, podemos reescribir el denominador usando la fórmula de la suma de dos cubos: \[ x^3 + 216 = x^3 + 6^3 = (x + 6)(x^2 - 6x + 36) \] Entonces, la expresión original se convierte en: \[ \frac{x + 6}{(x + 6)(x^2 - 6x + 36)} \] Observamos que hay un término común \( x + 6 \) en ambos el numerador y el denominador, el cual podemos cancelar: \[ \frac{\cancel{x + 6}}{\cancel{(x + 6)}(x^2 - 6x + 36)} = \frac{1}{x^2 - 6x + 36} \] Así que la fracción simplificada es: \[ \frac{1}{x^2 - 6x + 36} \] Esta es la expresión simplificada de la fracción original. No podemos simplificar más sin valores adicionales de x.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com