Question - Polynomial Factorization Problem

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành phân tích từng đa thức một:

1/ \(x^4 + 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1\)

Đường tiếp cận thông thường là nhận thấy đây là dạng tổng của hình lập phương:

\((x^2)^2 + 2 \cdot 3x(x^2) + (3x)^2 - 2 \cdot (x)(3x) + 1^2\)

Điều này gợi nhớ đến công thức tổng của hai lập phương \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), và ta có thể viết lại đa thức theo dạng:

\((x^2 + 3x + 1)^2 - (2x \cdot 1)^2\)

Điều này dẫn đến việc sử dụng công thức hiệu của hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\), từ đó ta có:

\((x^2 + 3x + 1 + 2x)(x^2 + 3x + 1 - 2x)\)

Đơn giản hóa các biểu thức:

\((x^2 + 5x + 1)(x^2 + x + 1)\)

2/ \( (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)^2 - (xy + yz + zx)^2 \)

Đây cũng là dạng của công thức hiệu của hai bình phương như trên:

\((x + y + z)^2 - (xy + yz + zx)^2\)

Ta có thể viết lại đa thức như sau:

\((x + y + z + xy + yz + zx)(x + y + z - (xy + yz + zx))\)

Đơn giản hóa:

\((x + y + z + xy + yz + zx)(z - (xy + yz - zx))\)

Biểu thức này không thể đơn giản hóa thêm mà không có thông tin cụ thể về \( x, y, z \), do đó đây là kết quả cuối cùng của phân tích.