Example Question - standard normal distribution
Here are examples of questions we've helped users solve.
Probability Calculations for Normal Distribution with Sample Size of 100
The image contains four separate parts (a through d) of a question regarding a normal distribution with a mean (μ) of 50 and a standard deviation (σ) of 4. It then asks about the probabilities related to a sample (n) of 100. Here are the answers to each of the parts as provided in the image: a. What is the probability that X is less than 49? The answer is given as P(X < 49) = 0.0062. b. What is the probability that X is between 49 and 50.5? The answer is given as P(49 < X < 50.5) = 0.8822. c. What is the probability that X is above 50.6? The answer is given as P(X > 50.6) = 0.0688. d. There is a 40% chance that X is above what value? The answer is given as X = 50.1012. The calculations for these probabilities would typically involve using the standard normal distribution (Z-distribution), where you would standardize the values using the formula \( Z = \frac{X - μ}{σ} \). Since the sample size is 100, the standard error of the mean (SEM) would also be involved, computed by \( SEM = \frac{σ}{\sqrt{n}} \). However, the full workings of these calculations are not shown in the image; it only provides the final numerical results. If you need further assistance on how to perform these calculations, please feel free to ask!
Finding the Z-Value for Standard Normal Distribution
Với giả định rằng bạn đang nói đến phân phối chuẩn, giá trị z mà bạn cần tìm là giá trị mà tại nó, diện tích ở phía bên phải của nó (tức là từ nó đến vô cực) bằng 3/7 của tổng diện tích dưới đường cong phân phối chuẩn (tổng diện tích này bằng 1). Nhớ lại rằng trong phân phối chuẩn, diện tích tương ứng với xác suất và đường cong phân phối chuẩn là đối xứng qua trục dọc đi qua giá trị trung bình (z=0). Vì vậy, nếu phía bên phải của z có 3/7 diện tích, thì phía bên trái sẽ có 4/7 diện tích, vì tổng diện tích phải bằng 1. Do đó, chúng ta cần tìm giá trị z mà phía bên trái của nó chiếm 4/7 của diện tích. Điều này tương ứng với tìm giá trị z mà P(Z < z) = 4/7. Bạn có thể tra cứu giá trị này trong bảng phân phối chuẩn tích lũy, sử dụng một máy tính thống kê, hoặc sử dụng phần mềm thống kê. Dựa trên các bảng phân phối chuẩn và máy tính phân phối z thông dụng, giá trị z tương ứng với xác suất 4/7 là xấp xỉ 0.52. Như vậy, phương án đúng là: z ≈ 0.52.
Calculating Standard Normal Distribution Area
Dựa vào câu hỏi trong hình ảnh, bạn đang tìm giá trị của z để diện tích dưới đường cong phân phối chuẩn từ -z đến z bằng 1 - 2*0.17 (vì bạn cần tính diện tích ở giữa, loại trừ 2 phần đuôi mỗi bên có diện tích 0.17). Ta có 1 - 2*0.17 = 1 - 0.34 = 0.66. Giờ bạn cần tra bảng phân phối chuẩn chuẩn hóa hoặc sử dụng công cụ tính toán phân phối chuẩn để tìm giá trị z sao cho P(-z < Z < z) = 0.66, nơi Z là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa. Thông thường, các giáo trình thống kê sẽ cung cấp một bảng để tra cứu giá trị z tương ứng với diện tích được cho trước dưới đường cong chuẩn. Với diện tích 0.66 bạn sẽ tra bảng và tìm ra giá trị z tương ứng. Giá trị của z gần sát với 0.66 là khoảng 0.43, nhưng không có phương án nào trùng khớp hoàn hảo. Nên bạn cần tra bảng hoặc dùng máy tính để tìm giá trị chính xác hơn. Tuy nhiên, vì không có bảng phân phối chuẩn chuẩn hóa tại đây và cũng không có khả năng truy cập nguồn đáng tin cậy để tra cứu giá trị chính xác của z, tôi không thể cung cấp cho bạn đáp án chính xác nhất. Đề xuất là bạn sử dụng bảng phân phối chuẩn chuẩn hóa hoặc máy tính có chức năng thích hợp để tra cứu hoặc tính toán giá trị cần tìm.
Finding Standard Normal Distribution Values
Để tìm giá trị của \( z \) phân chia diện tích dưới đường cong phân phối chuẩn thành hai phần với tỷ lệ 3/7, ta cần tìm điểm trên trục hoành của đường cong phân phối chuẩn mà tại đó có 3/7 diện tích ở một bên và 4/7 diện tích ở bên còn lại (vì tổng diện tích dưới đường cong là 1). Trong bảng tiêu chuẩn phân phối chuẩn, giá trị của \( z \) tương ứng với tỷ lệ diện tích nhất định từ bên trái của đường cong đến giá trị \( z \). Trong trường hợp của chúng ta, chúng ta đang tìm điểm mà tại đó có 3/7 diện tích ở bên trái của nó. Tính toán diện tích, ta có \( 3/7 \) của diện tích tổng cộng (1) là: \[ \frac{3}{7} \times 1 \approx 0.4286 \] Bây giờ chúng ta hãy tìm giá trị \( z \) sao cho diện tích tích lũy từ bên trái lên đến \( z \) bằng 0.4286. Chúng ta sẽ tra cứu giá trị này trong bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng máy tính phân phối chuẩn. Giả sử chúng ta có bảng phân phối chuẩn hoặc máy tính, chúng ta có thể nhận thấy rằng giá trị \( z \) gần nhất với diện tích tích lũy 0.4286 là: \[ z \approx -0.18 \] Nhưng, tất cả các lựa chọn từ câu hỏi đều là giá trị \( z \) dương, có nghĩa là chúng ta đang tìm kiếm giá trị \( z \) ở phía bên phải của trục đối xứng của đường cong. Do đường cong phân phối chuẩn là đối xứng, giá trị \( z \) dương mà chúng ta cần phải tương ứng với 1 - 0.4286 = 0.5714 diện tích từ bên trái của đường cong. Tra cứu lại trong bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng máy tính, ta có thể tìm giá trị \( z \) dương gần nhất với diện tích tích lũy 0.5714, đó là: \[ z \approx 0.18 \] Dựa vào các lựa chọn có sẵn trong câu hỏi, giá trị \( z \) gần nhất với 0.18 là \( z = 0.18 \). Tuy nhiên, không có lựa chọn nào chính xác tương ứng với 0.18. Vì vậy, có lẽ là đã có một sai sót nào đó trong các lựa chọn đã cho, hoặc cần xem xét lại cách tính toán. Tuy nhiên, nếu ta chỉ có thể chọn từ các lựa chọn đã cho, lựa chọn gần nhất là \( z = 0.18 \) mà không có trong các lựa chọn. Chúng ta cần phải xem xét lại bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng máy tính để có giá trị chính xác.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com