Example Question - roots of quadratic equation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Quadratic Equation
\[ \begin{align*} 2x^2 - 4x - 6 &= 0\\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \quad \text{(Divide by 2)}\\ (x - 3)(x + 1) &= 0\\ x - 3 &= 0 \ \text{or} \ x + 1 = 0\\ x &= 3 \ \text{or} \ x = -1 \end{align*} \]
Quadratic Equation Solution
The given equation is a quadratic equation of the form ax^2 + bx + c = 0. To solve for x, we can use the quadratic formula: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a) For our given equation: 3x^2 + 5x - 2 = 0 Here, a = 3, b = 5, and c = -2. Plugging these values into the quadratic formula gives us: x = [-5 ± sqrt(5^2 - 4 * 3 * (-2))] / (2 * 3) x = [-5 ± sqrt(25 + 24)] / 6 x = [-5 ± sqrt(49)] / 6 x = [-5 ± 7] / 6 This gives us two possible solutions for x: x = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3 or x = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2 Therefore, the solutions for x are x = 1/3 or x = -2.
Solving a Quadratic Equation
Để giải phương trình thứ nhất: \[ x^4 - 12x^2 + 16 = 0 \] Chúng ta có thể đặt \( u = x^2 \), khi đó phương trình sẽ trở thành: \[ u^2 - 12u + 16 = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó a = 1, b = -12, c = 16. Ta tính delta (\(\Delta\)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80 \] Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ u_1 = \frac{12 + \sqrt{80}}{2} = 6 + 2\sqrt{5} \] \[ u_2 = \frac{12 - \sqrt{80}}{2} = 6 - 2\sqrt{5} \] Bây giờ, vì \( u = x^2 \), ta cần lấy căn bậc hai của các nghiệm này để tìm nghiệm cho \( x \). Điều này cho ta bốn nghiệm: \[ x_1 = \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \] \[ x_2 = -\sqrt{6 + 2\sqrt{5}} \] \[ x_3 = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] \[ x_4 = -\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \] Đó là nghiệm của phương trình đầu tiên. Do đề bài yêu cầu giải bằng tiếng Việt, phần tiếng Anh chỉ để giải thích các bước đã làm.
Solution to Finding Value of m in Quadratic Equation Problem
Hình ảnh bạn cung cấp có chứa các bài toán yêu cầu tìm giá trị của m để các phương trình cho trước có nghiệm thỏa mãn các điều kiện được đưa ra. Tôi sẽ giải bài toán số 4 cho bạn. Bài 4: Tìm m để phương trình \( x^2 - (2m-1)x + m^2 - m + 6 = 0 \) có 2 nghiệm thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \). Đầu tiên ta nhận thấy đây là một phương trình bậc hai với a = 1, b = -(2m-1), và c = m^2 - m + 6. Theo định lý Vi-ét, ta có: - Tổng các nghiệm \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2m-1 \). - Tích các nghiệm \( x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 6 \). Biểu thức \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được viết lại như sau: \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \). Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào, ta có: \( x_1^2 + x_2^2 = (2m-1)^2 - 2(m^2 - m + 6) \). Đặt giá trị này bằng 8 (theo yêu cầu của đề bài), ta có: \( (2m-1)^2 - 2(m^2 - m + 6) = 8 \). Giải phương trình này để tìm giá trị của m, ta có: \( 4m^2 - 4m + 1 - 2m^2 + 2m - 12 = 8 \), \( 2m^2 - 4m - 19 = 0 \). Giải phương trình bậc hai này để tìm m, ta sử dụng công thức nghiệm: \( m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), với a = 2, b = -4, và c = -19, ta được: \( m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 152}}{4} \), \( m = \frac{4 \pm \sqrt{168}}{4} \), \( m = \frac{4 \pm 2\sqrt{42}}{4} \), \( m = 1 \pm \frac{\sqrt{42}}{2} \). Vậy, các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \( x_1^2 + x_2^2 = 8 \) là \( m = 1 + \frac{\sqrt{42}}{2} \) hoặc \( m = 1 - \frac{\sqrt{42}}{2} \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com