Example Question - proportions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Word Problems Involving Proportions and Unit Costs
Para la primera pregunta: <p> Si 70 barras de pan cuestan 42€, entonces el costo por barra es \( \frac{42€}{70} \)</p> <p> Para saber cuánto costarían 45 barras: \( 45 \times \frac{42€}{70} \)</p> <p> \( = 45 \times 0.6€ \)</p> <p> \( = 27€ \)</p> Para la segunda pregunta: <p> Si gastar 46 céntimos de euro de gasolina para recorrer 4km, entonces el costo por kilómetro es \( \frac{46}{4} \) céntimos.</p> <p> Para saber cuánto costaría el combustible en un viaje de 270km: \( 270 \times \frac{46}{4} \)</p> <p> \( = 270 \times 11.5 \)</p> <p> \( = 3105 \) céntimos, lo que equivale a \( 31.05€ \)</p> Para la tercera pregunta: <p> Si el precio de 15 menús es 120€, entonces el costo por menú es \( \frac{120€}{15} \)</p> <p> Para 7 personas: \( 7 \times \frac{120€}{15} \)</p> <p> \( = 7 \times 8€ \)</p> <p> \( = 56€ \)</p>
Find the Area of a Triangular Section in a Rectangle
<p>Let \( AF = x \), \( FC = 5x \), \( BF = y \), and \( BG = 3y \).</p> <p>Since \( \triangle ABF \) is similar to \( \triangle EBF \) and \( \triangle BGC \), their sides are proportional.</p> <p>The area \( A \) of \( \triangle ABF \) can be expressed with the base \( AF \) and height \( BF \):</p> <p>\[ A_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} AF \cdot BF = \frac{1}{2} x \cdot y \]</p> <p>The area \( A \) of \( \triangle EBF \) is \( \frac{2}{5} \) of the area of \( \triangle ABF \):</p> <p>\[ A_{\triangle EBF} = \frac{2}{5} A_{\triangle ABF} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x \cdot y = \frac{1}{5} xy \]</p> <p>The area \( A \) of \( \triangle BGC \) is 3 times the area of \( \triangle ABF \):</p> <p>\[ A_{\triangle BGC} = 3 A_{\triangle ABF} = 3 \cdot \frac{1}{2} x \cdot y = \frac{3}{2} xy \]</p> <p>Since the rectangle \( ABCD \) has area 112 cm²:</p> <p>\[ A_{\text{rectangle}} = AF \cdot BF + BF \cdot FC = x \cdot y + 5x \cdot y = 112 \]</p> <p>Solving for \( y \), we get:</p> <p>\[ 6xy = 112 \]</p> <p>\[ y = \frac{112}{6x} \]</p> <p>Substitute \( y \) back to find \( x \):</p> <p>\[ A_{\text{rectangle}} = x \cdot \frac{112}{6x} + 5x \cdot \frac{112}{6x} \]</p> <p>\[ 112 = \frac{112}{6} + \frac{560}{6} \]</p> <p>\[ 112 = \frac{672}{6} \]</p> <p>\[ 6 \cdot 112 = 672 \]</p> <p>This is not true for any positive \( x \), hence there must be a mistake in the initial setup. Based on the image provided, the written setup does not lead to a feasible solution. Please review the problem statement or constraints and verify the setup before attempting to solve.</p>
Calculating Height of Post Using Similar Triangles
Para resolver esta pregunta, podemos usar las proporciones dictadas por los triángulos semejantes formados por el poste, su sombra y los rayos de luz que llegan al suelo, y la varilla, su sombra y los rayos de luz que llegan al suelo. Dado que tenemos la sombra y la altura de la varilla, podemos establecer la misma relación con el poste y su sombra. La relación es la siguiente: Altura de la varilla / Longitud de la sombra de la varilla = Altura del poste / Longitud de la sombra del poste Sustituyendo los valores que tenemos obtenemos: 49 cm / 63 cm = Altura del poste / 4.5 m Primero, debemos convertir la sombra del poste de metros a centímetros para que las unidades sean consistentes: 4.5 m = 450 cm Ahora, podemos resolver para la altura del poste: 49 cm / 63 cm = Altura del poste / 450 cm (49 cm * 450 cm) / 63 cm = Altura del poste Calculamos el valor numérico: (49 * 450) / 63 = Altura del poste 22050 / 63 = Altura del poste 350 = Altura del poste Por lo tanto, la altura del poste es de 350 cm. Para expresar este valor en metros, dividimos por 100 ya que hay 100 cm en un metro: 350 cm / 100 = 3.5 m Por lo tanto, la altura del poste es de 3,5 metros. La respuesta correcta es la opción a) 3,5 m.
Calculation of a Line Length in a Triangle Based on Proportions
El gráfico muestra un triángulo ABC con un punto B conectado por dos líneas rectas a los puntos A y C, formando dos triángulos internos (triángulo ABB y triángulo BCC). Los ángulos que estas líneas forman con la base del triángulo grande (AC) viene dado por "m". El lado AB del triángulo grande está marcado como 5α y el lado BC como 4α. Además, la línea que forma el lado más corto del triángulo interno ABB está marcada con "x". Se nos pide calcular el valor de "x" en función de α. Vamos a utilizar la propiedad de semejanza de triángulos. Los triángulos ABB y ABC son semejantes porque tienen dos ángulos correspondientes iguales (el ángulo en el punto A y el ángulo m en los puntos B de cada triángulo). La semejanza de los triángulos nos dice que las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales, así que podemos escribir la siguiente relación: x / 5α = (5α - x) / 4α Aquí, x es la longitud de la línea que queremos encontrar y 5α y 4α son las longitudes de los lados del triángulo grande ABC. Ahora, vamos a resolver la ecuación: x * 4α = 5α * (5α - x) 4αx = 25α^2 - 5αx 4αx + 5αx = 25α^2 9αx = 25α^2 x = 25α^2 / 9α x = (25/9)α x = (25/9)α * (1/α) / (1/α) x = 25/9 Pero al mirar las opciones, esta no está listada. Parece haber un pequeño error en el procedimiento; asegurémonos de resolverlo correctamente. Si despejamos x de nuevo teniendo en cuenta que cometimos un error al multiplicar el denominador en el último paso, debería quedar: x = 25α/9 Por lo tanto, parece que cometí un error al cancelar α de la ecuación. Ahora, al poner la fracción común en términos de 3 para las opciones que nos dan, tenemos: x = 25α/9 = (25/9) * α Que puede simplificarse a: x = (8 + 1/9) * α x = 8α + (1/9) * α x = 8α + α/9 Invirtamos nuestro proceso y pongamos el 9 como denominador común: x = (72α + α) / 9 x = (73α) / 9 x = 73/9 * α Hay un error, volvamos a observar el proceso inicial. El error se encuentra al momento de cruzar multiplicar, la ecuación correcta debería ser: x * 4α = 5α * (5α - x) Desarrollando correctamente: 4αx = 25α^2 - 5αx 4αx + 5αx = 25α^2 9αx = 25α^2 x = 25α^2 / 9α x = 25/9 * α x = 25α / 9 Ahora esta expresión se corresponde con la opción (D): x = α / 3
Solving for Variables in Similar Triangles with Proportions
The image shows two triangles with corresponding sides labeled with algebraic expressions. To solve for the values of \( x \) and \( y \), we must assume that these triangles are similar based on the way they're labeled (for instance, the triangles could be indicated as similar by a given problem statement or corresponding angles being marked as congruent). Similar triangles have corresponding sides that are proportional. Let's set up the proportion based on the sides provided: \[ \frac{x}{3y} = \frac{x + 3}{y + 1} \] Now we cross-multiply to solve for \( y \): \[ x(y + 1) = 3y(x + 3) \] Expand both sides: \[ xy + x = 3xy + 9y \] Now, solve for \( y \) in terms of \( x \): \[ xy - 3xy = 9y - x \] \[ -2xy = 9y - x \] Now, since we want \( y \) in terms of \( x \), we need to factor \( y \) out on the left-hand side: \[ y(-2x - 9) = -x \] Divide both sides by \(-2x - 9\) to isolate \( y \): \[ y = \frac{-x}{-2x - 9} \] This gives us \( y \) in terms of \( x \). However, you may have additional information or a system of equations to solve for the specific values of \( x \) and \( y \), which isn't provided in the image. If that's the case, use that additional information to find the exact values of \( x \) and \( y \). If the image does not provide enough information to solve the system definitively and you require further context or other equations, please provide them to proceed.
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