Example Question - polynomial long division
Here are examples of questions we've helped users solve.
Dividing a Cubic Polynomial by a Linear Monomial
Given \( P(x) = 2x^3 + 3x^2 - x - 5 \) and \( D(x) = x - 1 \), we will perform polynomial long division. \[ \begin{array}{r} 2x^2+5x+4 \\ x-1 \,|\overline{\, 2x^3 + 3x^2 - x - 5} \\ -\underline{2x^3 - 2x^2} \\ 5x^2 - x \\ -\underline{5x^2 - 5x} \\ 4x - 5 \\ -\underline{4x - 4} \\ -1 \end{array} \] The quotient is \( Q(x) = 2x^2 + 5x + 4 \) and the remainder is \( -1 \).
Polynomial Operations and Division
Dưới đây là phần giải các câu hỏi trong hình: **Bài 13:** a) Ta cần tính \( M(x) = A(x) + B(x) - C(x) \). Ta có: \( A(x) = -8x^4 + 2x^3 + 5x^2 \), \( B(x) = 10x^4 + 2x^2 - 7x \), \( C(x) = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6 \). Khi đó, \( M(x) \) sẽ là tổng của \( A(x) \) và \( B(x) \) trừ đi \( C(x) \): \( M(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) + (10x^4 + 2x^2 - 7x) - (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6) \). Sau khi cộng và trừ hợp lý, ta được: \( M(x) = (-8x^4 + 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 + 2x^2 - 5x^2) + (0 - 7x - 3x) - (-6) \), \( M(x) = x^4 - 10x + 6 \). b) Ta tiếp tục tính \( N(x) = A(x) - B(x) - C(x) \): \( N(x) = A(x) - [B(x) + C(x)] \), \( N(x) = (-8x^4 + 2x^3 + 5x^2) - [(10x^4 + 2x^2 - 7x) + (x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 3x - 6)] \), Sau khi trừ hợp lý, ta được: \( N(x) = (-8x^4 - 10x^4 - x^4) + (2x^3 - 2x^3) + (5x^2 - 2x^2 - 5x^2) + (0 + 7x - 3x) + 6 \), \( N(x) = -19x^4 - 3x + 6 \). **Bài 14:** a) Ta cần tìm thương \( Q(x) \) và số dư \( R(x) \) trong phép chia \( A(x) \) cho \( B(x) \). Ta có: \( A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x) \) với \( R(x) \) có bậc nhỏ hơn bậc \( B(x) \), \( A(x) = 12x^4 + 10x^3 - x - 3 \), \( B(x) = 3x^2 + x + 1 \). Vì bậc của số dư \( R(x) \) phải nhỏ hơn 2 (bậc của \( B(x) \)), nên \( R(x) \) có dạng là \( ax + b \). Ta sẽ thực hiện phép chia đa thức như phép chia số thông thường để tìm \( Q(x) \) và \( R(x) \). b) Ta cần tìm số m để đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho đa thức \( 3x - 1 \). Để \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho \( 3x - 1 \), thì khi thay \( x = \frac{1}{3} \) vào đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) phải cho kết quả là 0 (do \( 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \)). Ta thay \( x = \frac{1}{3} \) vào đa thức: \( 2\left(\frac{1}{3}\right)^4 - 9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 9\left(\frac{1}{3}\right) + m = 0 \), Tính toán để tìm \( m \): \( \frac{2}{81} - \frac{9}{9} - \frac{9}{3} + m = 0 \), \( m = 1 + 3 - \frac{2}{81} \), \( m = 4 - \frac{2}{81} \). Làm tròn: \( m = \frac{324}{81} - \frac{2}{81} \), \( m = \frac{322}{81} \). Vậy \( m = \frac{322}{81} \) để đa thức \( 2x^4 - 9x^2 - 9x + m \) chia hết cho \( 3x - 1 \).
Polynomial Division Example
Bạn đang xem câu h) trong bức ảnh, đúng không? Câu này yêu cầu chúng ta thực hiện phép chia đa thức. Để giải quyết câu này, chúng ta sẽ tiến hành chia đa thức (-4x^2 + 2x^3 + 3x - 6) cho (x - 2). Cách làm như sau: Tiến hành sắp xếp lại đa thức bị chia theo cấp số mũ giảm dần của x: 2x^3 - 4x^2 + 3x - 6 Chúng ta sẽ chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho hạng tử đầu tiên của đa thức chia, rồi trừ kết quả khỏi đa thức gốc, và lặp lại quy trình này cho đến khi phần dư có bậc ít hơn bậc của đa thức chia. Bước 1: Chia \(2x^3\) cho \(x\) để có \(2x^2\). Nhân \(2x^2\) với \((x - 2)\) ta được \(2x^3 - 4x^2\). Bước 2: Trừ kết quả ở trên khỏi đa thức gốc: \((2x^3 - 4x^2 + 3x - 6) - (2x^3 - 4x^2) = 3x - 6\) Phần dư sau Bước 1 là \(3x - 6\). Bước 3: Chia \(3x\) cho \(x\) để có \(3\). Nhân \(3\) với \((x - 2)\) ta được \(3x - 6\). Bước 4: Trừ kết quả ở trên khỏi phần dư còn lại từ Bước 2: \((3x - 6) - (3x - 6) = 0\) Phần dư cuối cùng bằng 0, nên chúng ta có thể kết luận rằng đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia, và thương là \(2x^2 + 3\). Vậy (-4x^2 + 2x^3 + 3x - 6) : (x - 2) = \(2x^2 + 3\).
Mathematical Expression for Integration
The image shows a mathematical expression that requires simplification or integration. However, the expression is not entirely clear. It looks like it is written as: ∫ (6x + 20) / (2x^2 + x) To integrate this expression, we can try to simplify it first, possibly using polynomial long division or partial fraction decomposition. However, the current state of the problem is rather ambiguous due to not being entirely legible, and the method of solution would depend on the specific form of the integrand. If you could confirm or clarify the expression, I could assist you further with solving the integral.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com