Example Question - parabola vertex
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Absolute Value Graph
这个问题需要我们找到给定函数 f(x) = |x^2 - 4| 图形的正确版本。首先让我们来分析一下这个函数。 函数的基础部分是 x^2 - 4，这是一个向上开口的抛物线，其顶点在 x 轴下方 4 个单位。但是，因为整个函数被绝对值 | | 包裹，所以所有在 x 轴以下的部分都会被“反射”到 x 轴的上方。换句话说，抛物线 y = x^2 - 4 下方的部分在 y = 0 的位置被折叠到上方。 因此，我们要找的图形是这样的：一个顶点在 (0, 4) 的向上开口抛物线，但是在 x = -2 和 x = 2 这两个点，即 y = 0 的位置，它会有一个角点，并继续向上。在 x 轴以下的部分不存在，因为它们由于绝对值的作用被反映到了上方。 根据这点分析，我们可以确定正确答案是选项 (C)，因为它是唯一展示了在 x 轴上方的绝对值抛物线，其在 x = -2 和 x = 2 处有角点的函数图形。其他选项要么不符合抛物线的基本形状，要么在 x 轴以下有图形部分，这不符合绝对值的性质。
Calculating the Vertex of a Quadratic Equation
La imagen muestra una ecuación cuadrática y debajo de ella, una fórmula que parece ser la fórmula para calcular el vértice de una parábola correspondiente a una función cuadrática, sin embargo, parece haber un pequeño error en la fórmula escrita en la imagen. La fórmula correcta para el vértice de una parábola es: \[ \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \] La ecuación cuadrática en la imagen es: \[ 2x^2 - 8x + 5 \] Para aplicar correctamente la fórmula del vértice, identificamos "a", "b" y "c" de la forma general de una ecuación cuadrática \[ ax^2 + bx + c \]: - \( a = 2 \) - \( b = -8 \) - \( c = 5 \) Ahora calculamos la coordenada "x" del vértice: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = -\frac{-8}{4} = 2 \] Para encontrar la coordenada "y" del vértice, sustituimos la "x" encontrada en la ecuación original: \[ y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -8 + 5 = -3 \] Por lo tanto, las coordenadas del vértice de la parábola son: \[ (2, -3) \] Así que el vértice de la parábola descrita por la ecuación \( 2x^2 - 8x + 5 \) es \( (2, -3) \).
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