Example Question - optimal apartment location
Here are examples of questions we've helped users solve.
Optimal Apartment Location for Alice and Bruno in Ideal City
Alice und Bruno suchen eine Wohnung in Ideal City. Alice arbeitet als Akrobat in einem Vergnügungspark in Punkt A, und Bruno arbeitet in einer Bäckerei in Punkt B. Weil sie beide sehr umweltbewusst sind, laufen sie alle Strecken. Nun haben sie beide beschlossen, dass ihre neue gemeinsame Wohnung so gelegen sein sollte, dass die Distanz, die Bruno zur Arbeit zurücklegen muss, und die Distanz, die Alice zurücklegen muss, zusammen so klein wie möglich sein soll. a) In welchen Wohngegenden könnten sie sich ein Apartment suchen? Für Punkt a) suchen wir Orte auf der Karte, die für Alice und Bruno einen Kompromiss darstellen würden, wenn es um die Entfernung zu ihren Arbeitsplätzen geht. Wir betrachten dazu die Wege, die Alice und Bruno auf einem Gitternetz (wie das in der Stadt angezeigt) zurücklegen können, also in vertikaler oder horizontaler Richtung, aber nicht diagonal. Ein möglicher Ansatz bestünde darin, die Mitte zwischen Punkt A und Punkt B zu finden. Alle Punkte entlang der geraden Linie zwischen A und B wären potenziell gute Orte für eine Wohnung, da sie für beide die Gesamtzahl der Schritte optimieren würden. Das Gitter erlaubt es uns jedoch nicht, exakt in der Mitte zu sein, da es nur diskrete Punkte gibt. Deshalb könnten wir uns generell auf die Punkte konzentrieren, die auf den Linien liegen, die parallel zu den Gitterlinien gezogen werden können und die direkt zwischen A und B liegen. Diese würden eine gleiche Distanz oder eine Distanz, die so nah wie möglich für beide ist, zur Arbeit bieten. Da die Gesamtdistanz minimiert werden soll, wären Wohnungen, die sich auf der vertikalen Linie zwischen A und B befinden, vorzuziehen, da diese die minimale Summe der horizontalen Entfernungen von beiden Arbeitsplätzen haben würden. Das wären die Felder entlang der Linie, die durch die Mitte des Rasters (zwischen Punkt A und B) verläuft, aber keine Felder, die näher an A oder B liegen als das andere. Beachten Sie, dass es wegen der ungeraden Anzahl von Feldern zwischen A und B keine genaue Mittellinie gibt, aber die Linie, die ein Feld näher an A ist, minimiert die Gesamtdistanz für beide. b) Wo können sie ein Apartment suchen, wenn Alice nicht weiter laufen soll als Bruno? Für Punkt b) suchen wir nach einem Apartment, das so gelegen ist, dass Alice nicht weiter als Bruno laufen muss. Das bedeutet, dass die Wohnung so nah oder näher an Punkt A liegen muss als an Punkt B. Dazu zählen alle Felder auf der linken Seite von der Mitte zwischen A und B und weiter links, einschließlich der Mitte. c) Alice läuft gerne unterschiedliche Wege zur Arbeit. Zwischen wie vielen Routen kann sie wählen? Wie verhält es sich bei Bruno? Für Punkt c) zählen wir die verschiedenen Routen, die Alice und Bruno von ihrem Arbeitsplatz aus nehmen können, wenn wir annehmen, dass sie immer die kürzestmögliche Strecke wählen und nur horizontal und vertikal laufen können. Da Alice's Arbeit in Punkt A liegt und die Wohnung irgendwo auf der Linie auf halber Strecke zwischen A und B liegen wird, je nachdem, wie wir uns für Teil a) oder b) entscheiden, variieren die Anzahl der Pfade. Für jedes Feld, das sich Alice von A entfernt, gibt es eine Kombination von horizontalen und vertikalen Schritten, die sie nehmen kann. Die Anzahl der Routen berechnet man mit der Kombinatorik als binomiale Koeffizienten. Angenommen, die Wohnung befindet sich auf der Linie, die ein Feld näher an A als an B liegt (ähnlich zu Aufgabenteil a)), dann muss Alice zum Beispiel 2 Felder nach unten und 3 nach rechts laufen (wenn wir das mittlere Feld wählen). Die Anzahl der verschiedenen Wege, die sie nehmen könnte, wäre die Anzahl der Möglichkeiten, 3 rechte Schritte in 5 Schritten zu wählen, was als Binomialkoeffizient (5 über 3) berechnet wird, was 10 Routen entspricht. Für Bruno wäre das ähnlich, allerdings mit der Anzahl der Felder von der potenziellen Wohnung zu seinem Arbeitsplatz B. Wenn wir den selben Mittelpunkt aus dem Beispiel oben annehmen, hätte er 2 Felder nach oben und 2 nach rechts zu gehen, was (4 über 2) gleich 6 Routen entspricht.
Optimal Apartment Location in Ideal City Grid Network
Um die Fragen in dem Bild zu beantworten, müssen wir zunächst verstehen, dass Alice und Bruno in einem Gitternetz von Ideal City wohnen möchten, wobei Alice in Punkt A arbeitet und Bruno in Punkt B. a) Sie möchten eine Wohnung finden, die für beide von ihren Arbeitsplätzen aus möglichst nahe liegt. Die Entfernung in einem Gitternetz wird oft durch die Manhatten-Distanz gemessen, die die Summe der horizontalen und vertikalen Schritte zwischen zwei Punkten ist (d.h. ohne Diagonalbewegungen). In diesem Gitter möchten wir also einen Punkt (oder mehrere Punkte) finden, an dem die Summe der Manhattan-Distanzen zu A und zu B minimal ist. Die Punkte, die in der Mitte liegen, würden tendenziell die niedrigsten Gesamtdistanzen zu A und B liefern. Wenn wir das Netz betrachten, können wir sehen, dass die Punkte, welche die Bedingung erfüllen, auf einer Linie zwischen A und B liegen. Die Wohnung könnte irgendwo auf der horizontalen Linie zwischen A und B liegen, da dies beide Distanzen minimiert. Angenommen, die Wohnung liegt in derselben Reihe (horizontalen Linie) wie A und B, dann ist die Manhattan-Distanz für beide gleich den horizontalen Schritten zwischen deren Arbeitsplätzen und der Wohnung. Wenn wir also die Wohnung direkt in der Mitte zwischen A und B positionieren (in Bezug auf horizontale Schritte) würden wir die niedrigste Gesamtdistanz erreichen, die sie beide zurücklegen müssen. b) Falls Alice nicht weiter laufen soll als Bruno (d.h. ihre Distanz soll nicht größer sein), sollten wir die Wohnung näher an A als an B suchen. Das könnte irgendwo zwischen A und der Mitte auf der horizontalen Linie sein. Da wir die genauen Positionen im Gitternetz in dem Bild nicht sehen können (z.B. Koordinaten), können wir das nicht exakt berechnen, aber generell würde es bedeuten, näher an A als an B zu sein. c) Alice mag unterschiedliche Wege zur Arbeit zu nehmen. In einem Gitternetz hat sie mehrere Optionen, solange sie sich in einer Reihe oder Spalte in der Nähe von A befindet. Die genaue Anzahl der Routen kann nicht bestimmt werden, ohne die spezifischen Positionen der Blöcke in Bezug auf ihre Wohnung zu kennen. Bruno hingegen kann, wenn er sich nahe B befindet, ebenfalls unterschiedliche Pfade wählen. Aber die Gesamtzahl der unterschiedlichen Pfade hängt von der Lage ihrer Wohnung ab. Im Allgemeinen würde das Platzieren ihrer Wohnung auf einem Punkt, der von beiden Arbeitsplätzen entfernt ist, die Anzahl der unterschiedlichen Pfade erhöhen, die sie nehmen können, im Gegensatz zu einer Wohnung, die direkt neben einem ihrer Arbeitsplätze liegt.
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