Question - Optimal Apartment Location for Alice and Bruno in Ideal City
Solution:
Alice und Bruno suchen eine Wohnung in Ideal City. Alice arbeitet als Akrobat in einem Vergnügungspark in Punkt A, und Bruno arbeitet in einer Bäckerei in Punkt B. Weil sie beide sehr umweltbewusst sind, laufen sie alle Strecken. Nun haben sie beide beschlossen, dass ihre neue gemeinsame Wohnung so gelegen sein sollte, dass die Distanz, die Bruno zur Arbeit zurücklegen muss, und die Distanz, die Alice zurücklegen muss, zusammen so klein wie möglich sein soll.a) In welchen Wohngegenden könnten sie sich ein Apartment suchen?Für Punkt a) suchen wir Orte auf der Karte, die für Alice und Bruno einen Kompromiss darstellen würden, wenn es um die Entfernung zu ihren Arbeitsplätzen geht. Wir betrachten dazu die Wege, die Alice und Bruno auf einem Gitternetz (wie das in der Stadt angezeigt) zurücklegen können, also in vertikaler oder horizontaler Richtung, aber nicht diagonal.Ein möglicher Ansatz bestünde darin, die Mitte zwischen Punkt A und Punkt B zu finden. Alle Punkte entlang der geraden Linie zwischen A und B wären potenziell gute Orte für eine Wohnung, da sie für beide die Gesamtzahl der Schritte optimieren würden. Das Gitter erlaubt es uns jedoch nicht, exakt in der Mitte zu sein, da es nur diskrete Punkte gibt. Deshalb könnten wir uns generell auf die Punkte konzentrieren, die auf den Linien liegen, die parallel zu den Gitterlinien gezogen werden können und die direkt zwischen A und B liegen. Diese würden eine gleiche Distanz oder eine Distanz, die so nah wie möglich für beide ist, zur Arbeit bieten.Da die Gesamtdistanz minimiert werden soll, wären Wohnungen, die sich auf der vertikalen Linie zwischen A und B befinden, vorzuziehen, da diese die minimale Summe der horizontalen Entfernungen von beiden Arbeitsplätzen haben würden. Das wären die Felder entlang der Linie, die durch die Mitte des Rasters (zwischen Punkt A und B) verläuft, aber keine Felder, die näher an A oder B liegen als das andere. Beachten Sie, dass es wegen der ungeraden Anzahl von Feldern zwischen A und B keine genaue Mittellinie gibt, aber die Linie, die ein Feld näher an A ist, minimiert die Gesamtdistanz für beide.b) Wo können sie ein Apartment suchen, wenn Alice nicht weiter laufen soll als Bruno?Für Punkt b) suchen wir nach einem Apartment, das so gelegen ist, dass Alice nicht weiter als Bruno laufen muss. Das bedeutet, dass die Wohnung so nah oder näher an Punkt A liegen muss als an Punkt B. Dazu zählen alle Felder auf der linken Seite von der Mitte zwischen A und B und weiter links, einschließlich der Mitte.c) Alice läuft gerne unterschiedliche Wege zur Arbeit. Zwischen wie vielen Routen kann sie wählen? Wie verhält es sich bei Bruno?Für Punkt c) zählen wir die verschiedenen Routen, die Alice und Bruno von ihrem Arbeitsplatz aus nehmen können, wenn wir annehmen, dass sie immer die kürzestmögliche Strecke wählen und nur horizontal und vertikal laufen können.Da Alice's Arbeit in Punkt A liegt und die Wohnung irgendwo auf der Linie auf halber Strecke zwischen A und B liegen wird, je nachdem, wie wir uns für Teil a) oder b) entscheiden, variieren die Anzahl der Pfade. Für jedes Feld, das sich Alice von A entfernt, gibt es eine Kombination von horizontalen und vertikalen Schritten, die sie nehmen kann. Die Anzahl der Routen berechnet man mit der Kombinatorik als binomiale Koeffizienten.Angenommen, die Wohnung befindet sich auf der Linie, die ein Feld näher an A als an B liegt (ähnlich zu Aufgabenteil a)), dann muss Alice zum Beispiel 2 Felder nach unten und 3 nach rechts laufen (wenn wir das mittlere Feld wählen). Die Anzahl der verschiedenen Wege, die sie nehmen könnte, wäre die Anzahl der Möglichkeiten, 3 rechte Schritte in 5 Schritten zu wählen, was als Binomialkoeffizient (5 über 3) berechnet wird, was 10 Routen entspricht.Für Bruno wäre das ähnlich, allerdings mit der Anzahl der Felder von der potenziellen Wohnung zu seinem Arbeitsplatz B. Wenn wir den selben Mittelpunkt aus dem Beispiel oben annehmen, hätte er 2 Felder nach oben und 2 nach rechts zu gehen, was (4 über 2) gleich 6 Routen entspricht.
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