Example Question - milena vs kevin formula
Here are examples of questions we've helped users solve.
Correct Formula for Calculating Cubes in Walls
Die Aufgabestellung zeigt zwei verschiedene Formeln zur Berechnung der Anzahl der Würfel in den gezeigten Mauern. Milena verwendet die Formel \(2n + (n - 1)\) und Kevin \(3n + 1\), wobei \(n\) die Anzahl der sichtbaren Würfel oben auf der Mauer bezeichnet. Nun sollen wir prüfen, welche Formel korrekt ist, und die Antwort begründen. Um zu überprüfen, welcher Term korrekt ist, wenden wir die Formeln jeweils auf die Mauern A und B an: Mauer A hat 2 sichtbare Würfel oben (n = 2). - Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 2 + (2 - 1) = 4 + 1 = 5\). - Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7\). Mauer B hat 3 sichtbare Würfel oben (n = 3). - Nach Milenas Formel: \(2 \cdot 3 + (3 - 1) = 6 + 2 = 8\). - Nach Kevins Formel: \(3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10\). Jetzt zählen wir die tatsächliche Anzahl der Würfel in den Mauern: - Mauer A hat insgesamt 5 Würfel. - Mauer B hat insgesamt 8 Würfel. Diese Zählung zeigt, dass Milenas Formel beide Male die korrekte Anzahl der Würfel liefert: 5 Würfel für Mauer A und 8 Würfel für Mauer B. Kevins Formel liefert hingegen nicht die korrekte Anzahl der Würfel. Milena hat also die richtige Formel gefunden. Die Formeln gelten auch für beliebige Mauern, weil die Anzahl der Würfel, die eine Mauer bilden, auf einer regelmäßigen Struktur basiert: An der Spitze jeder Mauer gibt es \(n\) Würfel, und für jeden zusätzlichen Würfel oben gibt es zwei weitere darunter (einen direkt darunter und einen etwas versetzt), bis auf den ersten Würfel, der nur einen direkt darunter hat. Diese Struktur wird durch Milenas Formel korrekt wiedergegeben: \(2n\) für die unteren zwei Reihen jedes zusätzlichen Würfels oben und \(n - 1\) für die unterste Reihe, abzüglich des einen Würfels, der keinen Partner hat.
Correct Formula for Calculating Number of Cubes in Walls
Das gezeigte Problem beschäftigt sich mit der Anzahl der Würfel in Mauern unterschiedlicher Länge. Milena und Kevin haben unterschiedliche Formeln aufgestellt, um die Anzahl der Würfel zu berechnen: Milena verwendet die Formel \(2n + 1\) (wobei \(n\) die Anzahl der Würfel auf der Bodenschicht ist), und Kevin verwendet \(3n + 1\). Teil A) fragt, welcher der beiden Recht hat. Wenn wir die Struktur der Mauern analysieren, erkennen wir, dass jede Bodenschicht mit einem zusätzlichen Würfel oben drauf endet. Daher hat jede Mauer einen Würfel oben mehr als die Anzahl der Würfel in der untersten Schicht. Wenn \(n\) die Anzahl der Würfel in der untersten Schicht ist, dann ist die Gesamtanzahl der Würfel tatsächlich \(2n + 1\) (n für die Basis und n für die Mittelschicht, plus 1 zusätzlicher Würfel oben). Teil B) fragt, ob beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel liefern. Um diese Frage zu beantworten: Nein, nur Milenas Formel (\(2n + 1\)) liefert die korrekte Anzahl der Würfel für jede beliebige Länge der Mauer. Kevins Formel (\(3n + 1\)) wäre nur dann korrekt, wenn jede Schicht der Mauer aus drei Lagen bestehen würde, was jedoch nicht der Fall ist. Die Begründung lautet, dass man durch direktes Betrachten der Mauern sehen kann, dass auf jeder extra Schicht auf der untersten Ebene zwei zusätzliche Würfel hinzukommen – einen in der Mitte und einen oben. Daher ist die Gesamtzahl der Würfel immer das Doppelte der Anzahl der Würfel in der untersten Schicht plus ein weiterer Würfel für die Spitze, was Milenas Formel bestätigt.
Comparing Formulas for Counting Cubes in Walls
In der Aufgabe geht es darum, herauszufinden, wer die Anzahl der Würfel in den beiden Mauern (A und B) korrekt beschrieben hat. Milena gibt die Formel 2 · x + (x + 1) an und Kevin gibt die Formel 3 · x + 1 an. Berechnen wir die Anzahl der Würfel für beide Mauern (A und B) basierend auf den zwei Formeln. Für Mauer A (mit x = 3 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 3 + 1 = 9 + 1 = 10 Würfel. Für Mauer B (mit x = 4 sichtbaren Würfeln an der Front): - Nach Milena's Überlegung wäre das: 2 · 4 + (4 + 1) = 8 + 5 = 13 Würfel. - Nach Kevin's Überlegung wäre das: 3 · 4 + 1 = 12 + 1 = 13 Würfel. In beiden Fällen liefern die Formeln von Milena und Kevin die gleiche Anzahl von Würfeln. Damit haben beide die Überlegungen vernachlässigt; die Formeln stimmen für diese spezifischen Fälle überein. Um zu entscheiden, wer richtig liegt, müssen wir jedoch die Struktur der Mauern betrachten. Bei Mauer A (und auch bei B) besteht jede zusätzliche Ebene aus einem Würfel mehr als die Ebene darunter. Das bedeutet, dass jeder zusätzliche sichtbare Würfel an der Vorderseite dazu führt, dass die Gesamtanzahl der Würfel um zwei steigt (einer oben drauf und einer dahinter), und es gibt immer einen Würfel mehr als sichtbare Würfel an der Front. Mit diesem Verständnis ist die Formel von Milena (2 · x + (x + 1)) korrekt, weil sie für jede weitere Ebene 2 zusätzliche Würfel und einen Würfel zu Beginn hinzufügt. Kevins Formel (3 · x + 1) suggeriert, dass jede Ebene um 3 Würfel wächst, was nicht der Fall ist, wenn man sich die Struktur der Wände ansieht. Die korrekte Antwort ist: a) Milena hat die Überlegung korrekt angestellt. b) Die Formel von Kevin führt bei beiden Mauern zur gleichen Anzahl von Würfeln, ist aber strukturell nicht korrekt. Mit einer Ausnahme: Beim ersten Würfel (x = 1) würden beide Formeln tatsächlich das gleiche Ergebnis liefern (Milena: 2·1+(1+1) = 4; Kevin: 3·1+1 = 4). Ab der zweiten Ebene (x = 2) liefert die Formel von Kevin jedoch ein zu hohes Ergebnis (Milena: 2·2+(2+1) = 7; Kevin: 3·2+1 = 7), während die Formel von Milena weiterhin die korrekte Anzahl der Würfel wiedergibt.
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