Question - Correct Formula for Calculating Cubes in Walls
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Solution:
Die Aufgabestellung zeigt zwei verschiedene Formeln zur Berechnung der Anzahl der Würfel in den gezeigten Mauern. Milena verwendet die Formel $$2n + (n - 1)$$ und Kevin $$3n + 1$$, wobei $$n$$ die Anzahl der sichtbaren Würfel oben auf der Mauer bezeichnet. Nun sollen wir prüfen, welche Formel korrekt ist, und die Antwort begründen.Um zu überprüfen, welcher Term korrekt ist, wenden wir die Formeln jeweils auf die Mauern A und B an:Mauer A hat 2 sichtbare Würfel oben (n = 2). - Nach Milenas Formel: $$2 \cdot 2 + (2 - 1) = 4 + 1 = 5$$.- Nach Kevins Formel: $$3 \cdot 2 + 1 = 6 + 1 = 7$$.Mauer B hat 3 sichtbare Würfel oben (n = 3).- Nach Milenas Formel: $$2 \cdot 3 + (3 - 1) = 6 + 2 = 8$$.- Nach Kevins Formel: $$3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$$.Jetzt zählen wir die tatsächliche Anzahl der Würfel in den Mauern:- Mauer A hat insgesamt 5 Würfel.- Mauer B hat insgesamt 8 Würfel.Diese Zählung zeigt, dass Milenas Formel beide Male die korrekte Anzahl der Würfel liefert: 5 Würfel für Mauer A und 8 Würfel für Mauer B. Kevins Formel liefert hingegen nicht die korrekte Anzahl der Würfel.Milena hat also die richtige Formel gefunden.Die Formeln gelten auch für beliebige Mauern, weil die Anzahl der Würfel, die eine Mauer bilden, auf einer regelmäßigen Struktur basiert: An der Spitze jeder Mauer gibt es $$n$$ Würfel, und für jeden zusätzlichen Würfel oben gibt es zwei weitere darunter (einen direkt darunter und einen etwas versetzt), bis auf den ersten Würfel, der nur einen direkt darunter hat. Diese Struktur wird durch Milenas Formel korrekt wiedergegeben: $$2n$$ für die unteren zwei Reihen jedes zusätzlichen Würfels oben und $$n - 1$$ für die unterste Reihe, abzüglich des einen Würfels, der keinen Partner hat.
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