Example Question - manhattan distance
Here are examples of questions we've helped users solve.
Apartment Optimization for Alice and Bruno
Die Aufgabe ist im Wesentlichen ein Optimierungsproblem. Alice und Bruno wollen sich ein Apartment irgendwo auf dem Gitternetz suchen, sodass die Summe der Entfernungen von ihrem Apartment zu ihren Arbeitsplätzen (A und B) minimiert wird. Um die verschiedenen Routen zu identifizieren, die Alice und Bruno nehmen können, benutzen wir das Konzept der Manhattan-Distanz, da sie sich nur entlang der Gitterlinien bewegen können (keine Diagonalbewegungen). **(c) Wie könnte sich ein Apartment suchen, wenn Alice nicht weiter laufen soll als Bruno?** Die Positionen von Alice und Bruno bilden ein Rechteck auf dem Gitter. Die optimale Position für das Apartment unter dieser Bedingung wäre irgendwo auf der Linie, die die beiden Orte A und B verbindet, da dies die Entfernung gleichmäßig zwischen beiden aufteilen würde. Alice würde entlang einer Achse bis zu dieser Linie und Bruno entlang der anderen Achse gehen. Die Anzahl verschiedener Routen berechnen wir durch Kombinationen der Schritte, die sie auf ihrem Weg zum Apartment nehmen können. **(d) Wo müssten sie wohnen, wenn sie beide dieselbe Entfernung zu ihrer Arbeit zurücklegen sollen?** Wenn beide die gleiche Entfernung zurücklegen sollen, wäre das Apartment genau an dem Punkt, der gleich weit von A und B entfernt ist. In diesem Fall wäre das der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Rechtecks, das durch ihre Arbeitsorte definiert ist. Wenn wir uns auf der Karte umsehen, finden wir diesen Punkt auf der Linie, die A und B verbindet (das ist die zentrale, vertikale Linie des Gitters). Jeder Punkt auf dieser Linie gewährleistet, dass Alice und Bruno dieselbe Entfernung zur Arbeit zurücklegen müssen. Die exakte Position auf dieser Linie kann variiert werden, solange die zurückgelegte Gesamtdistanz jedes Einzelnen gleich bleibt. Aufgrund des Bildes und der Gittereinschränkungen können wir feststellen, dass das Apartment auf der vertikalen Linie liegen muss, die direkt durch die Mitte zwischen A und B läuft. Die genaue Adresse kann nicht bestimmt werden, ohne die Entfernungen zu kennen, die jeder zu laufen bereit ist, aber es wäre irgendwo auf der Linie, die A und B teilt.
Optimal Apartment Location for Alice and Bruno
Das Einführungsbeispiel beschäftigt sich mit der Wohnungssuche von Alice und Bruno in der Ideal City. Alice arbeitet im Vergnügungspark in Punkt A und Bruno in einer Bäckerei in Punkt B. Sie möchten eine gemeinsame Wohnung so zentral wie möglich wählen, um die Distanzen zu ihren Arbeitsplätzen zu minimieren. 1) Wenn Alice und Bruno sich nach einem Apartment umschauen, das für beide zentral liegt, sollten sie ein Apartment in der Gegend suchen, die für beide gleich weit von ihren Arbeitsplätzen entfernt liegt. In diesem Fall sollten sie ein Apartment suchen, das sich auf der Diagonalen zwischen Punkt A und B befindet. Das wäre in einer der leeren Zellen auf dem eingezeichneten Gitternetz, das die Straßen von Ideal City darstellt. 2) Alice und Bruno sollten ein Apartment suchen, das für beide die gleiche Entfernung zur Arbeit bedeutet. Dazu ist es sinnvoll, die mittlere Entfernung zwischen ihren beiden Arbeitsplätzen A und B zu finden. Da sie Fußgänger sind, betrachten wir die Entfernung als rechtwinklige Distanz (Manhattan-Distanz) und nicht als Luftlinie. Die optimale Wohnung für Alice und Bruno würde sich auf einem Punkt befinden, der auf der Linie liegt, die die Punkte A und B verbindet, und gleich weit von beiden Punkten entfernt ist. Diese Linie würde diagonal im Gitternetz verlaufen. Die Wohnung sollte sich daher auf der Diagonalen zwischen A und B befinden. Wenn wir die Gitterlinien als Straßen betrachten, dann wäre eine Wohnung, die sich genau in der Mitte dieser Diagonalen befindet, optimal für beide. Anhand des Gitters können wir nicht exakt den Punkt identifizieren, aber wenn die Wohnung irgendwo auf der eingezeichneten Diagonalen zwischen A und B liegt, wäre das ein guter Kompromiss für beide. Beide müssen dann jeweils die gleiche Anzahl an "Blöcken" zu ihren Arbeitsstellen zurücklegen, nämlich sowohl horizontal als auch vertikal die halbe Distanz zwischen A und B.
Optimal Apartment Location in Ideal City Grid Network
Um die Fragen in dem Bild zu beantworten, müssen wir zunächst verstehen, dass Alice und Bruno in einem Gitternetz von Ideal City wohnen möchten, wobei Alice in Punkt A arbeitet und Bruno in Punkt B. a) Sie möchten eine Wohnung finden, die für beide von ihren Arbeitsplätzen aus möglichst nahe liegt. Die Entfernung in einem Gitternetz wird oft durch die Manhatten-Distanz gemessen, die die Summe der horizontalen und vertikalen Schritte zwischen zwei Punkten ist (d.h. ohne Diagonalbewegungen). In diesem Gitter möchten wir also einen Punkt (oder mehrere Punkte) finden, an dem die Summe der Manhattan-Distanzen zu A und zu B minimal ist. Die Punkte, die in der Mitte liegen, würden tendenziell die niedrigsten Gesamtdistanzen zu A und B liefern. Wenn wir das Netz betrachten, können wir sehen, dass die Punkte, welche die Bedingung erfüllen, auf einer Linie zwischen A und B liegen. Die Wohnung könnte irgendwo auf der horizontalen Linie zwischen A und B liegen, da dies beide Distanzen minimiert. Angenommen, die Wohnung liegt in derselben Reihe (horizontalen Linie) wie A und B, dann ist die Manhattan-Distanz für beide gleich den horizontalen Schritten zwischen deren Arbeitsplätzen und der Wohnung. Wenn wir also die Wohnung direkt in der Mitte zwischen A und B positionieren (in Bezug auf horizontale Schritte) würden wir die niedrigste Gesamtdistanz erreichen, die sie beide zurücklegen müssen. b) Falls Alice nicht weiter laufen soll als Bruno (d.h. ihre Distanz soll nicht größer sein), sollten wir die Wohnung näher an A als an B suchen. Das könnte irgendwo zwischen A und der Mitte auf der horizontalen Linie sein. Da wir die genauen Positionen im Gitternetz in dem Bild nicht sehen können (z.B. Koordinaten), können wir das nicht exakt berechnen, aber generell würde es bedeuten, näher an A als an B zu sein. c) Alice mag unterschiedliche Wege zur Arbeit zu nehmen. In einem Gitternetz hat sie mehrere Optionen, solange sie sich in einer Reihe oder Spalte in der Nähe von A befindet. Die genaue Anzahl der Routen kann nicht bestimmt werden, ohne die spezifischen Positionen der Blöcke in Bezug auf ihre Wohnung zu kennen. Bruno hingegen kann, wenn er sich nahe B befindet, ebenfalls unterschiedliche Pfade wählen. Aber die Gesamtzahl der unterschiedlichen Pfade hängt von der Lage ihrer Wohnung ab. Im Allgemeinen würde das Platzieren ihrer Wohnung auf einem Punkt, der von beiden Arbeitsplätzen entfernt ist, die Anzahl der unterschiedlichen Pfade erhöhen, die sie nehmen können, im Gegensatz zu einer Wohnung, die direkt neben einem ihrer Arbeitsplätze liegt.
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