Example Question - linear functions
Here are examples of questions we've helped users solve.
Understanding Functions and Their Inverses
The image displays two functions, h and g. The function h is defined as h: x → 2x+1, for real numbers x such that 0 ≤ x ≤ k, and the function g is defined as g: x → 2x for 0 ≤ x ≤ 1/2 and 2 - 2x for 1/2 ≤ x ≤ 1. Part i of the question asks: Given that the function h has an inverse, state the greatest value of k. Find h⁻¹(½) and g(h⁻¹(½)). To solve part i, let's break it down: 1. **Function h having an inverse:** A function has an inverse if and only if it is one-to-one (injective), which means it never assigns the same value to two different domain elements. The function h given by h(x) = 2x + 1 is a linear function with a positive slope, which is injective over the entire domain of real numbers. Thus, there is no restriction on the value of k for h to have an inverse, and the greatest value of k is the largest value in the domain of x given for h, which is ∞. However, given the typical constraints of such problems, the greatest value of k could be considered the maximum value for which h is defined, which would be k if we associate it with the boundary of the domain. Since the problem does not specify an upper limit to the domain, we assume k can grow indefinitely. 2. **Finding h⁻¹(½):** The inverse function, h⁻¹(x), will undo the operation performed by h(x). That is, if h(x) = 2x + 1, then for h⁻¹(y), where y = h(x), we must have x = (y - 1)/2. So, h⁻¹(½) means we should solve (½ - 1)/2 for x: h⁻¹(½) = (½ - 1)/2 = (-½)/2 = -¼ 3. **Finding g(h⁻¹(½)):** Now that we have x = -¼, we need to determine which piece of the piecewise function g to use. Since -¼ is not within the domain of either piece of g as defined, g(h⁻¹(½)) is not directly determined from the given definition of g and this seems to be an issue with either the domain of g as presented or the parameters of the problem. Typically, with the domain given for g, it's likely intended for positive values of x, and h⁻¹(½) gives us a negative value. Thus, there must be an assumption or additional information about function g beyond the given domain, or an error in the problem as written. In conclusion, for part i, the greatest value of k isn't constrained by the information given, and to find g(h⁻¹(½)), we would need further clarification on the behavior of g beyond the domain provided in the image.
Integral Calculation for Shaded Area Between Linear Functions
La imagen muestra un gráfico con dos funciones lineales y un área sombreada entre ellas. Para encontrar el área del sector sombreado, necesitas integrar la diferencia de las dos funciones en el intervalo donde se superponen. Las funciones parecen ser f(x) = x y la otra es una recta positiva, posiblemente g(x) = kx, donde k es la pendiente. Sin valores específicos para los límites del área sombreada o la pendiente k, no puedo proporcionar una respuesta numérica exacta. Sin embargo, puedo explicarte cómo establecer la integral. Para el área sombreada, necesitas establecer A = ∫(g(x) - f(x)) dx La integral se calcula desde el punto de intersección de las dos rectas hasta el valor de x donde deseas detener el área. El punto de intersección de las rectas se da cuando f(x) = g(x), o sea, x = kx, lo cual sucede solo si x = 0 (asumiendo que k no es 1). Por lo tanto, el límite inferior de la integral es 0. Suponiendo que el límite superior es h, la integral es A = ∫[0,h](kx - x) dx A = ∫[0,h](x(k - 1)) dx Integrando x en el intervalo de 0 a h obtenemos A = [(k - 1)/2] x^2 | desde 0 hasta h A = [(k - 1)/2] h^2 Para darte una respuesta precisa, necesitaría los valores exactos de k (la pendiente de la segunda recta) y h (el límite superior del área sombreada).
Calculating Area Between Two Linear Functions in an Image
Para resolver la pregunta asociada con esta imagen, necesitaríamos conocer la pregunta específica. La imagen muestra un sistema de coordenadas con dos funciones lineales, una de ellas es la función identidad f(x) = x, y la otra parece ser una función con pendiente negativa, posiblemente g(x) = -x o algo similar, aunque no se proporciona la ecuación exacta de esta función en la imagen. La región sombreada en la imagen es el área entre las dos rectas en el intervalo donde ambas se interceptan. Generalmente, se puede calcular esta área encontrando los puntos de intersección de las dos funciones y luego integrando la diferencia entre las dos funciones o usando la fórmula geométrica para el área de un triángulo, si esa forma es aplicable. Si la pregunta es calcular el área del área sombreada, necesitaríamos usar uno de los métodos mencionados. Sin embargo, no tengo suficiente información para proceder con un cálculo exacto, ya que la ecuación de la segunda línea no está definida y tampoco tengo la pregunta específica. Si está disponible, por favor proporcione la pregunta exacta o más información para que pueda ayudarle de manera precisa.
Calculating Area Between Linear Functions
La imagen muestra el gráfico de una función lineal \( f(x) = x \) y posiblemente otra función afín o lineal decreciente que no está claramente etiquetada. Hay un área sombreada que parece representar el área entre las dos funciones. Para encontrar el área de la región sombreada, necesitamos las ecuaciones de ambas rectas y los límites de integración (los valores de \( x \) donde las rectas se cruzan). Suponiendo que la otra recta es una función de la forma \( g(x) = ax + b \) y que se cruza con la recta \( f(x) = x \) en dos puntos que definen los límites de la región sombreada, la diferencia entre estas dos funciones nos dará la altura de la región en un punto \( x \) dado dentro de los límites. El área \( A \) entre las dos funciones en el intervalo \([x_1, x_2]\), donde \(x_1\) y \(x_2\) son los puntos de intersección, se calcularía como sigue: \[ A = \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| \, dx \] Para poder proceder con el cálculo, necesitaríamos conocer la ecuación exacta de la segunda recta y los puntos específicos de intersección. Si tienes más información sobre la ecuación de la otra recta o los puntos de intersección, por favor, proporciónala para que pueda ayudarte con un cálculo más específico.
Understanding Linear Functions and Slope Interpretation
In the function y = 2.50x + 10, y represents the total amount spent at a state fair, and x represents the number of tickets purchased. The slope of a linear function like this is the coefficient of x, which is 2.50 in this case. The slope indicates how much y changes for each additional unit of x. In this context, that means the slope tells us how much the total amount spent increases for each additional ticket purchased. Therefore, the correct meaning of the slope in the function is that each ticket costs $2.50, which corresponds to choice D: Each ticket costs $2.50.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com