Example Question - integral evaluation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving a Definite Integral
La integral que se muestra en la imagen es: ∫₀ᵃ xdx Para resolver esta integral, aplicaremos la regla de la potencia para la integración. La regla de la potencia nos dice que la integral de x^n dx es (x^(n+1))/(n+1) + C, donde C es la constante de integración. En este caso, n = 1. Por lo tanto: ∫ xdx = (x^(1+1))/(1+1) + C ∫ xdx = x^2/2 + C Ahora, dado que estamos buscando la integral definida desde 0 hasta a, evaluamos la expresión x^2/2 en a y 0, y restamos el valor menor del valor mayor: ∫₀ᵃ xdx = (a^2/2) - (0^2/2) ∫₀ᵃ xdx = a^2/2 - 0 ∫₀ᵃ xdx = a^2/2 Como no existe un término (a^2/2) entre las opciones dadas, debemos encontrar la opción que es matemáticamente equivalente. Dado que la integral se está tomando en un intervalo donde a es el límite superior, el resultado no puede ser negativo. Al examinar las opciones, vemos que la opción c) a²/2 es la equivalente a nuestro resultado. Por lo tanto, la respuesta correcta es: c) a²/2
Solving a Definite Integral from 0 to a of x with Respect to x
Para resolver la integral indicada en la imagen, vamos a calcular la integral de x respecto a x desde 0 hasta a. La integral de x con respecto a x es: ∫ x dx => (1/2) x^2 + C Donde C es la constante de integración. Sin embargo, como estamos evaluando la integral definida de 0 a a, no necesitamos preocuparnos por la constante de integración. Evaluemos la integral definida: ∫ de 0 a a x dx = [(1/2) x^2] de 0 a a = (1/2) a^2 - (1/2) 0^2 = (1/2) a^2 - 0 = (1/2) a^2 Por lo tanto, la solución a la integral es (1/2) a^2. La opción correcta, de acuerdo a las opciones proporcionadas en la imagen, es la opción d) \( \frac{a^2}{2} \).
Solving Absolute Value Integral
To solve the integral \(\int_{-1}^{2} |x - x^2|\, dx\), we need to consider when the expression inside the absolute value, \(x - x^2\), is positive or negative. First, let's find the points where \(x - x^2 = 0\): \(x - x^2 = x(1 - x) = 0\) This gives us two points \(x = 0\) and \(x = 1\). Now we divide the interval \([-1, 2]\) based on these points and analyze the sign of the expression \(x - x^2\) in each subinterval: 1. For \(x \in [-1, 0]\), the expression is always negative since both \(x\) and \(x^2\) are non-positive and \(x^2\) is greater in magnitude than \(x\). 2. For \(x \in [0, 1]\), the expression is positive since \(x\) is greater than or equal to \(x^2\). 3. For \(x \in [1, 2]\), the expression is negative since \(x^2\) is greater than \(x\). Thus, we need to change the sign of the expression in the intervals where it is negative, which gives us: \[ \int_{-1}^{0} -(x - x^2)\, dx + \int_{0}^{1} (x - x^2)\, dx + \int_{1}^{2} -(x - x^2)\, dx \] Now we can integrate each term separately: 1. \(\int_{-1}^{0} -(x - x^2)\, dx = -\frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3}x^3\Big|_{-1}^{0}\) 2. \(\int_{0}^{1} (x - x^2)\, dx = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3}x^3\Big|_{0}^{1}\) 3. \(\int_{1}^{2} -(x - x^2)\, dx = -\frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3}x^3\Big|_{1}^{2}\) Now, evaluate each integral: 1. \(-\frac{1}{2} (0)^2 + \frac{1}{3}(0)^3 - (-\frac{1}{2} (-1)^2 + \frac{1}{3}(-1)^3) = 0 - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}\) 2. \(\frac{1}{2} (1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3 - (\frac{1}{2} (0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{6}\) 3. \(-\frac{1}{2} (2)^2 + \frac{1}{3}(2)^3 - (-\frac{1}{2} (1)^2 + \frac{1}{3}(1)^3) = -2 + \frac{8}{3} - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = -2 + \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = -2 + \frac{8}{3} + \frac{1}{6}\) To add \(-2 + \frac{8}{3} + \frac{1}{6}\), first find a common denominator, which is 6: \(-2 + \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = -2 + \frac{16}{6} + \frac{1}{6} = -2 + \frac{17}{6}\) \(-2\) is equivalent to \(- \frac{12}{6}\), so we have: \(-\frac{12}{6} + \frac{17}{6} = \frac{5}{6}\) Adding the results of all the terms: \(-\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{5}{6}\) So, the value of the integral \(\int_{-1}^{2} |x - x^2|\, dx\) is \(\frac{5}{6}\).
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