Example Question - hexadecimal system
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Number Divisibility in Hexadecimal System
Die Aufgabe auf dem Bild lautet: Übung 12.6: Rufen Sie sich die Teilbarkeitsregeln im Zehnersystem in Erinnerung. Für welche Zahlen gilt die Endzifferregel im Hexadezimalsystem? Für welche Zahlen gilt die Endzifferregel allgemein im b-adischen System? Die Endzifferregel im Hexadezimalsystem besagt, dass eine Zahl genau dann durch 2 teilbar ist, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist. Im Hexadezimalsystem sind die Ziffern, die durch 2 teilbar sind: 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E. Daher muss die letzte Ziffer einer durch 2 teilbaren Zahl im Hexadezimalsystem eine dieser Ziffern sein. Die Endzifferregel kann auf das b-adische System erweitert werden, wobei die Teilbarkeit einer Zahl durch eine Zahl n davon abhängt, ob ihre letzte Ziffer durch n teilbar ist. Im b-adischen System muss n ein Teiler von b sein, damit die Endzifferregel anwendbar ist. Ist die letzte Ziffer durch n teilbar, dann ist auch die gesamte Zahl durch n teilbar. Übung 12.7: Wann ist eine Zahl im Hexadezimalsystem durch 2, 4, 8, 3, 5, F oder 6 teilbar? Für die Teilbarkeit einer Zahl im Hexadezimalsystem durch 2, 4 oder 8 können ähnliche Regeln wie im Dezimalsystem angewandt werden: - Teilbar durch 2: Die letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6, 8, A, C, oder E. - Teilbar durch 4: Die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl. - Teilbar durch 8: Die letzten drei Ziffern bilden eine durch 8 teilbare Zahl. Für die Teilbarkeit durch 3, 5, F, oder 6 gibt es im Hexadezimalsystem keine so einfachen Regeln wie die Endzifferregel. Hier müssen wir auf andere Eigenschaften oder Umrechnungen in das Dezimalsystem zurückgreifen, um zu prüfen, ob eine Zahl durch diese Zahlen teilbar ist.
Converting Decimal Numbers to Different Bases
In der Übung 12.2 sollen wir die dezimal gegebene Zahl 7675 in andere Stellenwertsysteme auf Basis von b = 7, b = 2, b = 11 und b = 16 umwandeln. Als Hinweis wird gegeben, dass im Hexadezimalsystem (b = 16) Buchstaben (A–F) als weitere Ziffern verwendet werden. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Dezimalzahl 7675 in die entsprechenden Basen umrechnen. Hier ist eine allgemeine Methode, wie man das macht: 1. Teile die Dezimalzahl durch die Basis. 2. Schreibe den Rest als Ziffer des neuen Stellenwertsystems auf. Im Falle des Hexadezimalsystems nutze die Buchstaben A–F für die Werte 10–15. 3. Update die Dezimalzahl, um der Quotient der Division zu sein. 4. Wiederhole die Schritte 1-3, bis der Quotient der Division 0 ist. 5. Schreibe die Reste in umgekehrter Reihenfolge auf, um die Zahl in der neuen Basis zu erhalten. Beginnen wir nun mit der Umwandlung: b = 7 7675 / 7 = 1096 Rest 3 1096 / 7 = 156 Rest 4 156 / 7 = 22 Rest 2 22 / 7 = 3 Rest 1 3 / 7 = 0 Rest 3 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 31243_(7) b = 2 7675 / 2 = 3837 Rest 1 3837 / 2 = 1918 Rest 1 1918 / 2 = 959 Rest 0 959 / 2 = 479 Rest 1 479 / 2 = 239 Rest 1 239 / 2 = 119 Rest 1 119 / 2 = 59 Rest 1 59 / 2 = 29 Rest 1 29 / 2 = 14 Rest 1 14 / 2 = 7 Rest 0 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 1 / 2 = 0 Rest 1 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 111100000011_(2) b = 11 7675 / 11 = 697 Rest 8 697 / 11 = 63 Rest 4 63 / 11 = 5 Rest 8 5 / 11 = 0 Rest 5 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 5848_(11) b = 16 7675 / 16 = 479 Rest 11 (B) 479 / 16 = 29 Rest 15 (F) 29 / 16 = 1 Rest 13 (D) 1 / 16 = 0 Rest 1 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 1DFB_(16) Daher lauten die Antworten: 7675_(10) = 31243_(7) 7675_(10) = 111100000011_(2) 7675_(10) = 5848_(11) 7675_(10) = 1DFB_(16)
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