Example Question - graphical representation
Here are examples of questions we've helped users solve.
Solving Absolute Value Inequalities
The inequality presented here is \(7 \leq |7y - 9|\). To solve this, we need to consider the absolute value |7y - 9| and split the inequality into two cases because the expression inside the absolute value can be either positive or negative. The absolute value inequality says that the expression inside the absolute value is either greater than or equal to 7 or less than or equal to -7. First, we'll handle the case where the expression inside the absolute value is non-negative: 1. \(7y - 9 \geq 7\) 2. \(7y \geq 16\) 3. \(y \geq \frac{16}{7}\) Next, we handle the case where the expression inside the absolute value is non-positive: 1. \(7y - 9 \leq -7\) 2. \(7y \leq 2\) 3. \(y \leq \frac{2}{7}\) Combining both inequalities, we get the solution set for y: \(y \leq \frac{2}{7}\) or \(y \geq \frac{16}{7}\). Graphically, this means y is either in the interval \((-\infty, \frac{2}{7}]\) or in the interval \([\frac{16}{7}, \infty)\).
Relationship between Time and Distance for Traveling from Lima to Tacna
Para resolver esta pregunta, necesitaremos determinar la relación entre el tiempo y la distancia recorrida y luego usar esa relación para encontrar el tiempo total que le tomará a Luis recorrer la distancia completa entre Lima y Tacna. Según el problema, el transporte de Luis recorre 144 kilómetros en 3 horas. Necesitamos encontrar cuántas veces 144 kilómetros entran en la distancia total de 1200 kilómetros y luego multiplicar ese factor por el número de horas que le toma recorrer 144 kilómetros para obtener el tiempo total. Primero, dividimos la distancia total por la distancia que se recorre en 3 horas: \( \frac{1200 \text{ km}}{144 \text{ km}} = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} \). Esto nos dice que Luis necesitará \( \frac{25}{3} \) veces el tiempo de viaje de 3 horas para recorrer toda la distancia. Ahora, multiplicamos este factor por el número de horas que tarda en recorrer 144 kilómetros: \( \frac{25}{3} \times 3 \text{ horas} = 25 \text{ horas} \). Por lo tanto, le tomará a Luis 25 horas llegar a su destino de Lima a Tacna. Para verificar esta solución con un gráfico en el plano cartesiano, podríamos dibujar una línea recta que empiece en el punto (0,0) y pase por el punto (3,144), representando la relación lineal entre el tiempo y la distancia. Extendiendo esta línea hasta que la distancia sea 1200 km en el eje y, veríamos que la línea cruza el eje x en 25 horas, lo que confirma nuestra solución.
Discontinuity Analysis of Two Functions
El ejercicio muestra dos gráficos de funciones y pide analizar en qué puntos ocurren discontinuidades. Para la gráfica de la izquierda, que corresponde a la función f(x), se puede observar que hay una discontinuidad en x = -1. Esto se debe a que la gráfica tiene una interrupción allí: la función salta de un valor en la parte inferior del gráfico directamente a otro en la parte superior sin pasar por los valores intermedios. Para la gráfica de la derecha, que es la función g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1), parece haber un agujero o punto de discontinuidad en x = 1. Esto es común en funciones racionales cuando el numerador y el denominador tienen factores comunes que pueden ser cancelados, pero solo si x no es igual al valor que hace que el denominador sea cero. En este caso, si factorizas el numerador como (x + 1)(x - 1) y simplificas la función con el denominador, queda x + 1 para todos los valores de x excepto x = 1, donde la función no está definida originalmente y hay una discontinuidad. En la gráfica, esto se muestra como un pequeño círculo donde la función no tiene valor. Entonces, los puntos donde ocurre la discontinuidad son: - Para f(x): x = -1 - Para g(x): x = 1
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