Example Question - function domain
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analysis of Function Domain, Asymptotes, and Behavior
<p>The domain of \( f(x) \) is all real numbers except where the denominator equals zero. Set the denominator equal to zero and solve for x:</p> <p>\( x^2 - 1 = 0 \)</p> <p>\( (x + 1)(x - 1) = 0 \)</p> <p>\( x = 1 \) or \( x = -1 \)</p> <p>So the domain is \( x \in \mathbb{R} \), \( x \neq 1 \), \( x \neq -1 \).</p> <p>To find vertical asymptotes, look at the points where the function is undefined, which are at \( x = 1 \) and \( x = -1 \).</p> <p>To find the horizontal asymptote, examine the degrees of the numerator and denominator:</p> <p>The degree of the numerator (2) is equal to the degree of the denominator (2). The horizontal asymptote is the ratio of the leading coefficients:</p> <p>\( y = \frac{2}{1} = 2 \)</p> <p>Analyze the behavior around the vertical asymptotes:</p> <p>As \( x \) approaches \( 1 \) from the left, \( f(x) \) goes to \( -\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( 1 \) from the right, \( f(x) \) goes to \( +\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( -1 \) from the left, \( f(x) \) goes to \( +\infty \).</p> <p>As \( x \) approaches \( -1 \) from the right, \( f(x) \) goes to \( -\infty \).</p> <p>The function approaches the horizontal asymptote \( y = 2 \) as \( x \) goes to \( \pm\infty \).</p>
Analysis of Graphical Function Properties
<p>a) The domain of \( f \):</p> <p>\[ (-\infty, \infty) \]</p> <p>b) The range of \( f \):</p> <p>\[ [-6, 6] \]</p> <p>c) The zeros of \( f \):</p> <p>\[ x = -4, x = 0, x = 4 \]</p> <p>d) \( f(-3.5) \):</p> <p>\[ 1 \]</p> <p>e) The intervals on which \( f \) is increasing:</p> <p>\[ (-\infty, -2), (2, \infty) \]</p> <p>f) The intervals on which \( f \) is decreasing:</p> <p>\[ (-2, 2) \]</p> <p>g) The values for which \( f(x) \leq 0 \):</p> <p>\[ [-4, -2] \cup [0, 2] \cup [4, 6] \]</p> <p>h) Any relative maxima or minima:</p> <p>Relative maxima at \( x = -4, x = 4 \)</p> <p>Relative minima at \( x = 0 \)</p> <p>i) The value(s) of \( x \) for which \( f(x) = 3 \):</p> <p>\[ x \approx -2.5, x \approx 2.5 \]</p> <p>j) Is \( f(0) \) positive or negative?</p> <p>Negative \[ f(0) = -6 \]</p>
Finding the Domain of a Function with a Square Root
Para encontrar el dominio de la función f(x) = 3 / √(x - 3), necesitamos identificar todos los valores de x para los cuales la función está definida. La única restricción aquí es que el denominador no puede ser cero y debe ser un número real, lo que significa que x - 3 debe ser positivo porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Por lo tanto, configuramos la desigualdad: x - 3 > 0 Resolvemos para x: x > 3 Esto significa que el dominio de f(x) son todos los valores de x mayores que 3. En notación de intervalo, el dominio se escribe como: (3, +∞) En resumen, el dominio de la función f(x) = 3 / √(x - 3) es todos los valores reales de x mayores que 3.
Determining the Domain of a Function
Para encontrar el dominio de la función \( f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 2} \), necesitamos determinar para qué valores de \( x \) la función está definida. En este caso, la única restricción viene del denominador \( x + 2 \), ya que no puede ser igual a cero porque la división por cero no está definida en matemáticas. Por lo tanto, establecemos el denominador igual a cero y resolvemos para \( x \): \( x + 2 = 0 \) Restando 2 a ambos lados, obtenemos: \( x = -2 \) Este es el único valor que \( x \) no puede tomar. Por tanto, el dominio de la función son todos los números reales excepto \( x = -2 \), lo que se puede expresar como: \( \text{Dominio} = \{ x \in \mathbb{R} : x \neq -2 \} \) O, en notación de intervalo, esto es: \( \text{Dominio} = (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \)
Determining the Domain of a Function
The function provided is: \[ f(x) = \frac{1}{6x + 7} \] To find the domain of this function, we must determine the values of x for which the function is defined. Since we have a fraction with a denominator of \(6x + 7\), we must ensure that the denominator is never 0, because division by zero is undefined. So we set up the inequality: \[ 6x + 7 \neq 0 \] Solving for x, we subtract 7 from both sides: \[ 6x \neq -7 \] And then divide by 6: \[ x \neq \frac{-7}{6} \] Thus, the only value that x cannot take (the only value not in the domain) is \(-\frac{7}{6}\).
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