Question - Solving Differential Equations

سنقوم بحل المعادلات التفاضلية الأربعة.

المعادلة (1): \( y'' - 2y' - 3y = e^{2x} \)

حل المعادلة التكميلية: \( r^2 - 2r - 3 = 0 \)

\( r = 3, -1 \)

حل الجزء الخاص: \( y_p = Ae^{2x} \)

\( y_p' = 2Ae^{2x} \)

\( y_p'' = 4Ae^{2x} \)

نعوض في المعادلة الأصلية: \( 4Ae^{2x} - 4Ae^{2x} - 3Ae^{2x} = e^{2x} \)

نحصل على \( A = -\frac{1}{3} \)

الحل العام: \( y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} - \frac{1}{3}e^{2x} \)

المعادلة (2): \( y' - y = e^x \)

عامل التكامل: \( \mu(x) = e^{-x} \)

\( e^{-x}y' - e^{-x}y = 1 \)

\( \frac{d}{dx}(e^{-x}y) = 1 \)

\( e^{-x}y = x + C \)

الحل العام: \( y = e^x(x + C) \)

المعادلة (3): \( y' = x - 2xy \)

\( y' + 2xy = x \)

عامل التكامل: \( \mu(x) = e^{2x} \)

\( e^{2x}y' + 2xe^{2x}y = xe^{2x} \)

\( \frac{d}{dx}(e^{2x}y) = xe^{2x} \)

\( e^{2x}y = \frac{1}{2}x^2e^{2x} + Ce^{2x} \)

الحل العام: \( y = \frac{1}{2}x^2 + Ce^{-2x} \)

المعادلة (4): \( xdy + 2(y - 4x^2)dx = 0 \)

بفصل المتغيرات: \( \frac{dy}{dx} = \frac{8x^2 - 2y}{x} \)

معادلة تفاضلية غير متجانسة، وحلها يتطلب أساليب متقدمة ولا يمكن حلها بالتكامل المباشر.