Example Question - first derivative
Here are examples of questions we've helped users solve.
Finding Local Maximum Value of a Function
这个问题是关于一个函数 f(x) 的一阶导数 f'(x) 的值，并且询问函数 f(x) 在哪个给定的区间内有局部最大值。根据表格，我们可以看到 f'(x) 的值在不同的 x 值时是如何变化的。为了确定函数 f(x) 在何处可能有局部最大值，我们需要寻找一阶导数 f'(x) 的符号改变，从正变成负。 观察表格可知： - 当 x 从 0 变到 1 时，f'(x) 从 1 变为 -2，这意味着 f'(x) 经过了一个正到负的变化。 - 当 x 从 1 变到 2 时，f'(x) 保持负数。 - 当 x 从 2 变到 3 时，f'(x) 还是负数。 - 当 x 从 3 变到 4 时，f'(x) 从 0 变为 5，这意味着 f'(x) 经过了一个零到正的变化。 - 当 x 从 4 变到 5 时，f'(x) 从 5 变为 0，表明 f'(x) 经过了正到零的变化。 在函数 f(x) 的局部最大值点处，其一阶导数 f'(x) 会从正变成负（根据导数的性质）。 因此，根据 f'(x) 的正负变化，我们可以确定局部最大值出现在 x=0 到 x=1 这个区间内，因为导数在此区间从正变成了负。 所以答案是 （A）(0, 1)。
Identifying Local Maximum Values of a Function
为了判断一个函数f(x)在某个区间上是否有局部最大值，我们需要检查它的一阶导数f'(x)的符号变化。函数f(x)在某一点x = c处有局部最大值的一个充分条件是：f'(x)在x=c左侧为正，在x=c右侧为负。 根据题目中给出的一阶导数的值，我们可以发现在以下区间f'(x)的符号发生了变化： - 在x=1的时候，f'(x)从正数变为负数，这意味着函数f(x)可能在x=1处有局部最大值。 - 在x=3的时候，f'(x)从负数变为正数，这意味着函数f(x)可能在x=3处有局部最小值。 因此，只有选项B（1,2）的区间内包含了x=1这个转折点，所以答案是B，即函数f(x)在区间(1,2)内保证存在一个局部最大值。
Identifying Local Maximum with First Derivative
根据题目中给出的一阶导数 \(f'(x)\) 的值，我们可以判断函数 \(f(x)\) 在哪个区间上可能达到局部最大值。 局部最大值出现在一阶导数由正变负的点。根据表格，当 \(x\) 从 0 变到 1 时，\(f'(x)\) 由 1 变为 -2，所以这是由正到负的变化。因此，在 \(x = 1\) 处 \(f(x)\) 可能存在局部最大值。所以我们关心的区间至少包括这一点。 因此，答案是选项 (B) (1, 2)，因为这个区间包含了 \(x = 1\) 这点，在 \(x = 1\) 处函数 \(f(x)\) 从增加变为减少，所以这里可能有一个局部最大值。其他区间，包括 (0, 1)、(2, 4) 和 (3, 5)，要么不包含这一点，要么 \(f'(x)\) 的符号没有从正变为负。所以这些区间都不是我们寻找的区间。
Derivatives in Calculus
The image shows three mathematical problems labeled a), b), and c), all of which are related to calculus. I'll assist you with each one separately. a) Given \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \), you are asked to find \( f'(x) \), which is the first derivative of the function with respect to x. To find \( f'(x) \), differentiate \( f(x) \) term by term: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(1) \] Using the power rule \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \) and the constant rule \( \frac{d}{dx}c = 0 \) for a constant c, we get: \[ f'(x) = 2 \cdot 2x^{2-1} - 5 \cdot 1x^{1-1} \] Simplify the expression: \[ f'(x) = 4x - 5 \] So, the first derivative \( f'(x) \) of the function \( f(x) = 2x^2 - 5x + 1 \) is \( f'(x) = 4x - 5 \). b) Next, you are asked to find the derivative \( \frac{dy}{dx} \) given \( y = 3(x^2 - x)^2 \). We'll use the chain rule here: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \), where \( u = x^2 - x \), hence \( y = 3u^2 \). First, we differentiate \( y \) with respect to \( u \): \[ \frac{dy}{du} = 3 \cdot 2u^{2-1} = 6u \] Then, we differentiate \( u \) with respect to \( x \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) = 2x - 1 \] Now, multiply both derivatives together to get \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 6u(2x - 1) \] Substitute \( u \) back with \( x^2 - x \): \[ \frac{dy}{dx} = 6(x^2 - x)(2x - 1) \] So, \( \frac{dy}{dx} = 6(x^2 - x)(2x - 1) \) is the derivative of \( y = 3(x^2 - x)^2 \) with respect to \( x \). c) Finally, you are given \( f(x) = ax^2 + 3x - 1 \) and asked to find the value of \( a \), given that the limit \( \lim_{x \to -3} \frac{f(x) - f(-3)}{x - (-3)} = 13 \). This limit represents the derivative of \( f(x) \) at \( x = -3 \). Let's first find the derivative \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2) + \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(1) \] \[ f'(x) = 2ax + 3 \] Now, evaluate \( f'(x) \) at \( x = -3 \): \[ f'(-3) = 2a(-3) + 3 = -6a + 3 \] We are given that \( f'(-3) = 13 \), so: \[ -6a + 3 = 13 \] Solving for \( a \): \[ -6a = 13 - 3 \] \[ -6a = 10 \] \[ a = -\frac{10}{6} \] \[ a = -\frac{5}{3} \] Therefore, \( a = -\frac{5}{3} \).
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