Question - Finding the Length of Small Equilateral Triangle Inside a Larger Equilateral Triangle
Solution:
Para resolver el problema en la imagen, necesitamos encontrar el valor de $$ x $$. La figura muestra un triángulo equilátero (todos los lados son iguales) con los lados marcados como 8, y dentro de este triángulo hay otro triángulo equilátero más pequeño cuyo lado se denota con $$ x $$.Para resolver $$ x $$, podemos utilizar el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos que se forman al conectar los puntos medios de los lados del triángulo grande.Si trazamos una línea desde un vértice del triángulo grande al punto medio del lado opuesto, esta línea sería una altura del triángulo grande y también sería la mitad de un lado del triángulo pequeño.La altura $$ h $$ del triángulo grande se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras en uno de estos triángulos rectángulos, donde la hipotenusa es un lado del triángulo grande (8 unidades), y uno de los catetos es la mitad de un lado del triángulo pequeño ($$ x/2 $$). El otro cateto es la altura $$ h $$ misma.La ecuación sería:$$ h^2 + (x/2)^2 = 8^2 $$Ya que es un triángulo equilátero grande, la altura $$ h $$ también divide al lado opuesto en dos segmentos que suman 8 unidades. Dado que el triángulo más pequeño tiene la misma altura que uno de estos segmentos:$$ h = 8 - x/2 $$Ahora podemos expresar $$ h^2 $$ en función de $$ x $$:$$ (8 - x/2)^2 + (x/2)^2 = 8^2 $$Expandiendo el cuadrado de la binomio obtenemos:$$ 64 - 2 \cdot 8 \cdot x/2 + (x/2)^2 + (x/2)^2 = 64 $$Simplificando la ecuación:$$ 64 - 8x + x^2/4 + x^2/4 = 64 $$Combinando términos semejantes y eliminando el término constante 64 de ambos lados:$$ x^2/2 - 8x = 0 $$Factorizando $$ x $$ obtenemos:$$ x(x/2 - 8) = 0 $$Así que $$ x = 0 $$ o $$ x/2 - 8 = 0 $$.Despejando para $$ x $$ de la segunda ecuación, obtenemos:$$ x/2 = 8 $$$$ x = 16 $$Dado que el valor de $$ x = 0 $$ no tiene sentido en este contexto, la longitud del lado del triángulo más pequeño es $$ x = 16 $$ unidades.
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