Example Question - displacement
Here are examples of questions we've helped users solve.
Vector Displacement and Distance Calculation
<p>Ilustramos el problema con un diagrama de vectores:</p> <p>Punto inicial O. El coche se mueve 52 km al Este, llegando al punto A. Luego se mueve 27 km al Sur, llegando al punto B.</p> <p>\[\vec{OA} = 52 \text{ km Este}, \quad \vec{AB} = 27 \text{ km Sur}\]</p> <p>La distancia es la longitud total del camino recorrido, es decir:</p> <p>\[ \text{Distancia} = |\vec{OA}| + |\vec{AB}| = 52 \text{ km} + 27 \text{ km} = 79 \text{ km} \]</p> <p>El desplazamiento es el vector resultante desde el punto de inicio al punto final, es decir \(\vec{OB}\). Calculamos su magnitud utilizando el teorema de Pitágoras, donde el desplazamiento es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con lados 52 km y 27 km:</p> <p>\[ |\vec{OB}| = \sqrt{52^2 + 27^2} \]</p> <p>\[ |\vec{OB}| = \sqrt{2704 + 729} \]</p> <p>\[ |\vec{OB}| = \sqrt{3433} \]</p> <p>\[ |\vec{OB}| \approx 58.59 \text{ km} \]</p> <p>Por tanto, la distancia recorrida es de 79 km y el desplazamiento es aproximadamente de 58.59 km.</p>
Calculating Distance and Displacement
<p>La distancia es la longitud total del camino recorrido por el auto, que es igual a la suma de los desplazamientos en cada dirección:</p> \[ \text{Distancia} = 52 \text{ km} + 27 \text{ km} = 79 \text{ km} \] <p>El desplazamiento es el vector que va desde el punto inicial al final.</p> <p>Para calcular la magnitud del desplazamiento, usamos el teorema de Pitágoras, considerando un desplazamiento de 52 km hacia el Este y 27 km hacia el Sur, que forman un triángulo rectángulo.</p> \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{(52 \text{ km})^2 + (27 \text{ km})^2} \] \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{2704 + 729} \] \[ \text{Desplazamiento} = \sqrt{3433} \] \[ \text{Desplazamiento} \approx 58.6 \text{ km} \]
Calculating Work Done by a Force at an Angle
<p>The work \( W \) done by a force \( \vec{F} \) on an object through a displacement \( \vec{d} \) is given by the dot product of the force and displacement vectors:</p> <p>\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)</p> <p>When the force is applied at an angle \( \theta \) to the direction of displacement, the work done is:</p> <p>\( W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \)</p> <p>Given the magnitude of the force \( F = 50 \, \text{N} \), the displacement \( d = 10 \, \text{m} \), and the angle \( \theta = 30^\circ \), we can calculate the work done as follows:</p> <p>\( W = 50 \, \text{N} \cdot 10 \, \text{m} \cdot \cos(30^\circ) \)</p> <p>\( W = 500 \, \text{N} \cdot \text{m} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)</p> <p>\( W = 250\sqrt{3} \, \text{J} \)</p> <p>Thus, the work done is \( 250\sqrt{3} \, \text{Joules} \).</p>
Work Done by a Force at an Angle
<p>The work done by a force when the force is applied at an angle to the direction of displacement can be calculated using the formula:</p> <p>\( W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) \)</p> <p>where:</p> <p>\( W \) is the work done,</p> <p>\( F \) is the magnitude of the force,</p> <p>\( d \) is the displacement,</p> <p>\( \theta \) is the angle between the force and the displacement.</p> <p>Given that \( F = 50 \) N, \( d = 10 \) m, and \( \theta = 30^\circ \), the work done \( W \) is</p> <p>\( W = 50 \cdot 10 \cdot \cos(30^\circ) \)</p> <p>\( W = 500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)</p> <p>\( W = 250\sqrt{3} \) J</p> <p>Therefore, \( 250\sqrt{3} \) joules of work is done by the force.</p>
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