Example Question - different bases
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number Conversion Between Different Bases
Die Aufgabe verlangt, dass wir die gegebenen Zahlen aus ihren ursprünglichen Stellenwertsystemen in die jeweils angegebenen Stellenwertsysteme umwandeln. Hier sind die Schritte für jede Umwandlung: a) \( (255)_8 \) nach \( (_)_{10} \) - Das ist eine Umwandlung von einem oktalen Zahlensystem (Basis 8) in ein dezimales Zahlensystem (Basis 10). - Wir zerlegen die Zahl nach ihren Stellenwerten: \( 2 \times 8^2 + 5 \times 8^1 + 5 \times 8^0 \) - Das ergibt: \( 2 \times 64 + 5 \times 8 + 5 \times 1 \) - Also: \( 128 + 40 + 5 = 173 \) - Antwort: \( (255)_8 = (173)_{10} \) b) \( (3333)_7 \) nach \( (_)_{11} \) - Zuerst konvertieren wir die Zahl in das dezimale System: - \( 3 \times 7^3 + 3 \times 7^2 + 3 \times 7^1 + 3 \times 7^0 \) - Das ergibt: \( 3 \times 343 + 3 \times 49 + 3 \times 7 + 3 \times 1 \) - Also: \( 1029 + 147 + 21 + 3 = 1200 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 11 um: - \( 1200 \div 11 = 109 \) Rest 1 - \( 109 \div 11 = 9 \) Rest 10, welches im System mit der Basis 11 durch das Zeichen "A" ersetzt wird. - \( 9 \div 11 = 0 \) Rest 9 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 9A1 \) - Antwort: \( (3333)_7 = (9A1)_{11} \) c) \( (ABCD)_{16} \) nach \( (_)_{25} \) - Hier wandeln wir eine Zahl vom hexadezimalen System (Basis 16) in das System mit der Basis 25 um. - Zuerst wandeln wir die Zahl in das dezimale System um (A=10, B=11, C=12, D=13): - \( A \times 16^3 + B \times 16^2 + C \times 16^1 + D \times 16^0 \) - Das ergibt: \( 10 \times 4096 + 11 \times 256 + 12 \times 16 + 13 \times 1 \) - Also: \( 40960 + 2816 + 192 + 13 = 43981 \) - Jetzt wandeln wir die Dezimalzahl in das System mit der Basis 25 um: - \( 43981 \div 25 = 1759 \) Rest 6 - \( 1759 \div 25 = 70 \) Rest 9 - \( 70 \div 25 = 2 \) Rest 20, welches wir als "K" darstellen können, da es das zwanzigste Zeichen im Alphabet ist (wenn man bei 0 beginnt zu zählen). - \( 2 \div 25 = 0 \) Rest 2 - Wir sammeln die Reste in umgekehrter Reihenfolge: \( 2K96 \) - Antwort: \( (ABCD)_{16} = (2K96)_{25} \) Beachte bitte, dass beim Umwandeln in bzw. aus Basen, die größer als 10 sind, Buchstaben verwendet werden, um Werte größer als 9 darzustellen (z.B. im hexadezimalen System, wo A = 10 bis F = 15).
Converting Decimal Numbers to Different Bases
In der Übung 12.2 sollen wir die dezimal gegebene Zahl 7675 in andere Stellenwertsysteme auf Basis von b = 7, b = 2, b = 11 und b = 16 umwandeln. Als Hinweis wird gegeben, dass im Hexadezimalsystem (b = 16) Buchstaben (A–F) als weitere Ziffern verwendet werden. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Dezimalzahl 7675 in die entsprechenden Basen umrechnen. Hier ist eine allgemeine Methode, wie man das macht: 1. Teile die Dezimalzahl durch die Basis. 2. Schreibe den Rest als Ziffer des neuen Stellenwertsystems auf. Im Falle des Hexadezimalsystems nutze die Buchstaben A–F für die Werte 10–15. 3. Update die Dezimalzahl, um der Quotient der Division zu sein. 4. Wiederhole die Schritte 1-3, bis der Quotient der Division 0 ist. 5. Schreibe die Reste in umgekehrter Reihenfolge auf, um die Zahl in der neuen Basis zu erhalten. Beginnen wir nun mit der Umwandlung: b = 7 7675 / 7 = 1096 Rest 3 1096 / 7 = 156 Rest 4 156 / 7 = 22 Rest 2 22 / 7 = 3 Rest 1 3 / 7 = 0 Rest 3 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 31243_(7) b = 2 7675 / 2 = 3837 Rest 1 3837 / 2 = 1918 Rest 1 1918 / 2 = 959 Rest 0 959 / 2 = 479 Rest 1 479 / 2 = 239 Rest 1 239 / 2 = 119 Rest 1 119 / 2 = 59 Rest 1 59 / 2 = 29 Rest 1 29 / 2 = 14 Rest 1 14 / 2 = 7 Rest 0 7 / 2 = 3 Rest 1 3 / 2 = 1 Rest 1 1 / 2 = 0 Rest 1 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 111100000011_(2) b = 11 7675 / 11 = 697 Rest 8 697 / 11 = 63 Rest 4 63 / 11 = 5 Rest 8 5 / 11 = 0 Rest 5 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 5848_(11) b = 16 7675 / 16 = 479 Rest 11 (B) 479 / 16 = 29 Rest 15 (F) 29 / 16 = 1 Rest 13 (D) 1 / 16 = 0 Rest 1 Umgedrehte Reihenfolge der Reste ergibt: 1DFB_(16) Daher lauten die Antworten: 7675_(10) = 31243_(7) 7675_(10) = 111100000011_(2) 7675_(10) = 5848_(11) 7675_(10) = 1DFB_(16)
Number Conversion in Different Bases
Soalan ini melibatkan penukaran nombor dalam pelbagai asas (base) sistem nombor. 3. Tukar nilai digit 5 dalam nombor 154 kepada nombor dalam asas 3. Untuk menyelesaikan soalan ini, kita perlu tahu bahawa dalam nombor 154, 5 berada di tempat puluhan dalam sistem asas 10, yang bermakna nilai sebenar 5 adalah 5 x 10 = 50. Sekarang kita perlu menukar nilai 50 ke dalam sistem asas 3. Mula dengan memecah nombor dalam sistem asas 10 kepada penjumlahan kuasa tiga. **Sistem asas 3:** 3^0 = 1 3^1 = 3 3^2 = 9 3^3 = 27 3^4 = 81 (nilai tertinggi yang kurang dari 50) 3^5 = 243 (terlalu besar untuk 50) Oleh itu, mulakan dengan 3^4 = 81, yang terlalu besar. Kita gunakan 3^3 = 27, yang terbesar dan kurang dari 50. 50 - 27 = 23 (baki yang perlu diubah) Seterusnya menggunakan 3^2 = 9. 23 - 9 = 14 (baki yang perlu diubah) Seterusnya menggunakan 3^1 = 3. 14 - 3 - 3 - 3 = 5 - 3 = 2 (baki yang perlu diubah) Kini kita telah mendapat: 1 x 27 (3^3), 2 x 9 (3^2), 3 x 3 (3^1), dan 2 x 1 (3^0). Ini memberi kita nombor 27+18+9+2 = 56 dalam asas 10, yang menunjukkan bahawa kita perlu melakukan koreksi kerana jumlahnya harus menjadi 50 bukan 56. Jadi, saya rasa ada kesilapan dalam pengiraan saya. Mari kita cuba lagi. Untuk mengubah 50 ke asas 3: 27 (3^3) x 1 = 27 -> Baki = 50 - 27 = 23 9 (3^2) x 2 = 18 -> Baki = 23 - 18 = 5 3 (3^1) x 1 = 3 -> Baki = 5 - 3 = 2 1 (3^0) x 2 = 2 -> Baki = 0, selesai Jadi sekarang kita gunakan secara terbalik: 1 nilai 3^3 (27). 2 nilai 3^2 (9). 1 nilai 3^1 (3). 2 nilai 3^0 (1). Ini memberikan kita representasi dalam asas 3 sebagai 1212. Oleh itu, nombor 154 dalam asas 10 menjadi 11202 dalam asas 3 (selepas menukar digit 5 menjadi 1212). Jawapan yang betul adalah (c) 11202.
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