Example Question - derivative rules
Here are examples of questions we've helped users solve.
Derivative of a Quotient Function
Để tìm đảo hàm của hàm số \( y = \frac{3x - 2}{\sqrt{2x + 5}} \), ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương. Nếu ta có \( u(x) \) và \( v(x) \) là hai hàm số khả vi và \( v(x) \neq 0 \), thì đạo hàm của thương là: \[ (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ở đây, ta thiết lập \( u(x) = 3x - 2 \) và \( v(x) = \sqrt{2x + 5} \). Ta cần tìm \( u'(x) \) và \( v'(x) \) trước. Đạo hàm của \( u(x) \) là: \[ u'(x) = (3x - 2)' = 3 \] Để tìm đạo hàm của \( v(x) \), vì \( v(x) = (2x + 5)^{1/2} \), ta sử dụng quy tắc chuỗi để tìm đạo hàm của hàm số mũ: \[ v'(x) = \frac{1}{2}(2x + 5)^{-1/2} \cdot (2x + 5)' = \frac{1}{2}(2x + 5)^{-1/2} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}} \] Bây giờ ta có thể tìm đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{3\sqrt{2x + 5} - (3x - 2)\frac{1}{\sqrt{2x + 5}}}{2x + 5} \] \[ y' = \frac{3(2x + 5) - (3x - 2)}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \] \[ y' = \frac{6x + 15 - 3x + 2}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \] \[ y' = \frac{3x + 17}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \] Nhìn vào các phương án, ta thấy đáp án đúng là: \( B) \) \( y' = \frac{3x + 17}{(2x + 5)^\frac{3}{2}} \)
Finding the Derivative of a Function
Để giải câu hỏi này, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số đã cho. Hàm số được cho là \( y = \frac{2}{x} - 3\sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \). Ta sẽ tìm đạo hàm của từng thành phần trong hàm số: 1. Đạo hàm của \(\frac{2}{x}\) là \(-\frac{2}{x^2}\). 2. Đạo hàm của \(3\sqrt{x}\) hay \(3x^{\frac{1}{2}}\) là \(\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}\) hoặc \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\). 3. Đạo hàm của \(\frac{1}{x^2}\) hay \(x^{-2}\) là \(-2x^{-3}\) hoặc \(-\frac{2}{x^3}\). Cộng tất cả các đạo hàm ta được, ta có đạo hàm của hàm số là: \( y' = -\frac{2}{x^2} - \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3} \). Nhìn vào các đáp án, đáp án đúng cần phải có dạng tương tự. Đáp án C có cùng các phần tử với đạo hàm mà ta vừa tìm, vậy nên đáp án C là đáp án đúng: \( C) y' = -2x^{-2} - \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \).
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com