Example Question - cube wall formulas
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Comparing Formulas for Building Walls with Cubes
In der Aufgabe geht es darum, die Anzahl der Würfel zu beschreiben, die verwendet wurden, um Mauern verschiedener Längen zu bauen. Milena und Kevin haben jeweils eine Formel dafür entwickelt: Milena sagt, dass die Anzahl der Würfel \(3n + 1\) beträgt, wobei \(n\) die Anzahl der sichtbaren Würfel an der Oberseite der Mauer ist (nicht die Gesamtanzahl der Würfel). Kevin sagt, dass es \(3n + 4\) Würfel sind. Auf den Bildern A und B sehen wir zwei Mauern, die aus Würfeln bestehen: Mauer A hat 4 Würfel an der Oberseite, und Mauer B hat 3 Würfel an der Oberseite. Wir setzen die Zahlen in die Formeln von Milena und Kevin ein: Für Mauer A (mit \(n = 4\)): Milena's Formel: \(3 \cdot 4 + 1 = 13\) Kevin's Formel: \(3 \cdot 4 + 4 = 16\) Für Mauer B (mit \(n = 3\)): Milena's Formel: \(3 \cdot 3 + 1 = 10\) Kevin's Formel: \(3 \cdot 3 + 4 = 13\) Nun zählen wir die tatsächliche Anzahl der Würfel in jeder Mauer: Mauer A hat 13 Würfel und Mauer B hat 10 Würfel. Daraus können wir schließen: a) Wer hat wie überlegt? Milena hat richtig überlegt, denn ihre Berechnungen passen zu den tatsächlichen Anzahlen der Würfel in beiden Mauern. b) Liefern beide Terme für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel? Nur Milena liefert für beliebig lange Mauern die richtige Anzahl Würfel, da ihre Formel korrekt das Muster der Mauer darstellt, welches an den Enden einen zusätzlichen Würfel benötigt und für jedes zusätzliche Oberteil drei Würfel benötigt. Kevin's Formel hingegen fügt drei Würfel für das Oberteil hinzu, aber seine Berücksichtigung von vier zusätzlichen Würfeln anstatt einem ist für die zusätzlichen Würfel am Ende der Mauer nicht korrekt. Begründe deine Antwort: Die Begründung basiert darauf, dass die tatsächliche Anzahl der Würfel in den abgebildeten Mauern zeigt, dass Milenas Berechnung korrekt ist, während die von Kevin nicht mit der wirklichen Anzahl der Würfel übereinstimmt. Milenas Formel berücksichtigt, dass unabhängig von der Länge der Mauer immer ein zusätzlicher Würfel am Ende hinzugefügt werden muss, während die restlichen Würfel jeweils in Dreierschritten für jeden weiteren Block auf der Oberseite der Mauer hinzukommen. Kevin scheint ein ähnliches Muster erkannt zu haben, aber seine Berechnung des zusätzlichen Würfels am Ende ist nicht korrekt.
Analyzing Cube Wall Formulas
Die Aufgabenstellung zeigt zwei verschiedene Mauern, die aus Würfeln bestehen. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena's Formel lautet: 2 * (k + 1). Kevin's Formel lautet: 3 * k + 1. Um zu bestimmen, wer überlegt hat, müssen wir die Anzahl der Würfel in jeder Mauer für ein bestimmtes k (die Anzahl der aufeinanderfolgenden vertikalen Würfelpaare) berechnen und sehen, welche Formel die korrekte Anzahl liefert. Betrachten wir die Mauer A: - Bei Mauer A gibt es 3 vertikale Würfelpaare (k = 3). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (3 + 1) = 2 * 4 = 8. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 3 + 1 = 9 + 1 = 10. Wenn wir Mauer A zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 10 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ A. Betrachten wir die Mauer B: - Bei Mauer B gibt es 2 vertikale Würfelpaare (k = 2). - Nach Milena's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 2 * (k + 1) = 2 * (2 + 1) = 2 * 3 = 6. - Nach Kevin's Formel wäre die Anzahl der Würfel: 3 * k + 1 = 3 * 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Wenn wir Mauer B zählen, sehen wir, dass es tatsächlich 7 Würfel gibt. Daher ist Kevin's Formel korrekt für Mauer Typ B. Kevin's Formel liefert in beiden Fällen die richtige Anzahl von Würfeln. Somit hat Kevin überlegt. Um die Antwort zu begründen: Kevin's Formel berücksichtigt den einzelnen Würfel an der Spitze jeder Mauer (das "+1" in seiner Formel), der bei jeder Wand unabhängig von der Anzahl der vertikalen Würfelpaare hinzukommt. Milena's Formel hingegen berechnet nur die Anzahl der Würfel für Mauern der Typ B korrekt (wenn es keinen einzelnen Würfel oben gibt), da sie die vertikalen Würfelpaare und den einzigen horizontalen Würfel an der Basis zählt, aber nicht den einzelnen Würfel oben.
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