Example Question - cube patterns
Here are examples of questions we've helped users solve.
Analyzing Cube Structure with Milena and Kevin
Jemand hat aus Würfeln diese Mauern gebaut. Milena und Kevin beschreiben die Anzahl Würfel dieser Mauern unterschiedlich. Milena: 2 \(\times\) (k + 1) Kevin: 3 + k \(\times\) 1 Milena und Kevin haben ihre Überlegungen vernachlässigt. A) Wer hat wie überlegt? B) Welche beiden Terme liefern bei beliebiger Länge der fertigen Mauern die richtige Anzahl Würfel? Begründe deine Antwort. Zu A): Wenn wir die Mauern analysieren, können wir sehen, dass sie aus einer Reihe von Würfeln bestehen, die auf der Oberseite um einen Würfel erhöht wird, um eine Art "Stufe" zu schaffen. Milena stellt die Anzahl der Würfel in jeder Mauer als 2 \(\times\) (k + 1) dar, was bedeutet, sie nimmt an, dass es eine Basis der Länge k gibt und für jede zusätzliche Einheit der Länge (k+1), gibt es zwei Würfel oben darauf, also werden die beiden verdoppelt. Kevin hingegen beschreibt die Anzahl der Würfel als 3 + k \(\times\) 1. Dies scheint darauf hinzuweisen, dass er von 3 Würfeln ausgeht, die eine konstante Größe repräsentieren (vielleicht die beiden Würfel an den Enden und der erste Würfel von k), und dann fügt er abhängig von der Länge k immer nur einen weiteren Würfel dazu. Zu B): Um die richtige Anzahl von Würfeln für jede Mauer zu ermitteln, betrachten wir die Muster. Jede Mauer beginnt mit einem einzelnen Würfel und wird dann auf beiden Seiten um je einen Würfel erhöht, um die Stufen zu erstellen. Daher hat jede nächste Stufe gleichzeitig eins mehr auf der Basis und zwei mehr insgesamt. Das bedeutet, dass für jede Längeneinheit k der Mauer, es k Würfel auf der Basis gibt und zusätzlich je zwei Würfel an den Enden, also insgesamt 2 + k. Diese Formel wird dadurch bewiesen, dass für k = 1 (die Basislänge von einer Einheit) die Mauer insgesamt 3 Würfel hat (2 + k = 2 + 1 = 3), für k = 2 gibt es 4 Würfel (2 + k = 2 + 2 = 4), usw. Keines von Milenas und Kevins Termen ist ganz korrekt, aber wenn wir sie kombinieren, erhalten wir den richtigen Term: 2 + k.
Understanding Cube Patterns in Geometric Figures
Diese Aufgabe befasst sich mit Mustern und algebraischen Ausdrücken, um die Anzahl der Würfel in geometrischen Figuren zu beschreiben. Milena und Kevin haben unterschiedliche Formeln zur Beschreibung der Anzahl der Würfel in den Mauern entwickelt. Die Formel, die Milena vorschlägt, ist: Anzahl der Würfel = 2 * (x + k + 1) Die Formel von Kevin ist: Anzahl der Würfel = 3 * (x + 1) "Wer hat wie überlegt?" bezieht sich darauf, welche Überlegungen Milena und Kevin angestellt haben könnten, um auf ihre Formeln zu kommen. Zur Beantwortung der Frage A müssen wir jedoch zuerst verstehen, was "x" und "k" in den Formeln repräsentieren. Das "x" in beiden Formeln scheint die Anzahl der sichtbaren horizontalen Würfel auf der Vorderseite der Mauer zu bezeichnen, während "k" in Milenas Formel offenbar für die Anzahl der Schichten oben auf der Mauer steht. Wir analysieren nun die beiden Mauern A und B, indem wir die sichtbaren Würfel auf der Vorderseite zählen und die Formeln von Milena und Kevin verwenden, um herauszufinden, wer den richtigen Ansatz hat. Für die Mauer A sehen wir: - 4 Würfel in der untersten Reihe auf der Vorderseite (x = 4) - 1 Schicht oben auf der Mauer (k = 1) Anwendung von Milenas Formel (mit den sichtbaren Würfeln auf der Vorderseite plus der Schicht oben): 2 * (x + k + 1) = 2 * (4 + 1 + 1) = 2 * 6 = 12 Anwendung von Kevins Formel: 3 * (x + 1) = 3 * (4 + 1) = 3 * 5 = 15 Für die Mauer B sehen wir: - 5 Würfel in der untersten Reihe auf der Vorderseite (x = 5) - 0 Schichten oben auf der Mauer (k = 0) Anwendung von Milenas Formel: 2 * (x + k + 1) = 2 * (5 + 0 + 1) = 2 * 6 = 12 Anwendung von Kevins Formel: 3 * (x + 1) = 3 * (5 + 1) = 3 * 6 = 18 Nun schauen wir uns die Mauern an und zählen die tatsächliche Anzahl der Würfel. Für Mauer A: Die tatsächliche Anzahl der Würfel ist 15 (12 gelbe und 3 rote). Für Mauer B: Die tatsächliche Anzahl der Würfel ist 18 (15 gelbe und 3 rote). Durch den visuellen Vergleich und das Zählen erkennen wir, dass Kevins Formel die korrekte ist, da sie die tatsächliche Anzahl der Würfel für beide Mauern korrekt beschreibt. Milena hat die Anzahl der Würfel unterschätzt, da sie nicht alle Würfel auf der Rückseite der Mauer in ihre Berechnung einbezieht. Kevin hingegen hat wahrscheinlich bemerkt, dass jede Reihe einen zusätzlichen Würfel hat, der nicht sichtbar ist, deshalb multipliziert er die Anzahl der sichtbaren Würfel an der Vorderseite plus eins mit drei, um die Gesamtanzahl der Würfel zu bestimmen. Frage B stellt sicher, dass die Schüler überprüfen, ob die Formeln für beliebig lange Mauern gelten. Kevins Formel ist korrekt für Mauern jeder Länge, weil sie jeden horizontalen Würfel auf der Vorderseite, jeden verdeckten Würfel auf der Rückseite und jeden Würfel in der obersten Reihe mit einschließt.
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