Question - Solving a System of Linear Equations Using Cramer's Rule
Solution:
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer, primero escribimos las ecuaciones en la forma \( Ax = B \), donde \( A \) es la matriz de coeficientes, \( x \) es la matriz de variables, y \( B \) es la matriz de términos constantes.
Las ecuaciones dadas son:
\[ \begin{align*}
4x + 2y &= 13 \\
2x + 2y &= 5
\end{align*} \]
La matriz de coeficientes \( A \) es:
\[ A = \begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & 2
\end{bmatrix} \]
La matriz de términos constantes \( B \) es:
\[ B = \begin{bmatrix}
13 \\
5
\end{bmatrix} \]
Para hallar \( x \), reemplazamos la primera columna de \( A \) por \( B \) y calculamos el determinante:
\[ A_x = \begin{bmatrix}
13 & 2 \\
5 & 2
\end{bmatrix} \]
\[ \text{det}(A_x) = (13)(2) - (5)(2) = 26 - 10 = 16 \]
Para hallar \( y \), reemplazamos la segunda columna de \( A \) por \( B \) y calculamos el determinante:
\[ A_y = \begin{bmatrix}
4 & 13 \\
2 & 5
\end{bmatrix} \]
\[ \text{det}(A_y) = (4)(5) - (2)(13) = 20 - 26 = -6 \]
El determinante de \( A \) es:
\[ \text{det}(A) = (4)(2) - (2)(2) = 8 - 4 = 4 \]
Entonces, las soluciones son:
\[ x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} = \frac{16}{4} = 4 \]
\[ y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]
Por lo tanto, las soluciones del sistema son \( x = 4 \) y \( y = -1.5 \).
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