Example Question - coordinate geometry
Here are examples of questions we've helped users solve.
Determining the Coordinates of the Third Vertex in a Triangle Given the Centroid and Two Vertices
We know that the centroid (G) of a triangle with vertices A, B, and C can be found using the formula: <p>\( G(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\frac{y_A + y_B + y_C}{3},\frac{z_A + z_B + z_C}{3}) \)</p> Given that the centroid is at (1,1,1) and the coordinates of points A and B are A(3, −5,7) and B(−1,7,−6) respectively, we can plug these into the formula and solve for the coordinates of point C (x_C, y_C, z_C). <p>\( 1 = \frac{3 + (-1) + x_C}{3} \)</p> <p>\( 1 = \frac{2 + x_C}{3} \)</p> <p>\( 3 = 2 + x_C \)</p> <p>\( x_C = 1 \)</p> <p>\( 1 = \frac{-5 + 7 + y_C}{3} \)</p> <p>\( 1 = \frac{2 + y_C}{3} \)</p> <p>\( 3 = 2 + y_C \)</p> <p>\( y_C = 1 \)</p> <p>\( 1 = \frac{7 + (-6) + z_C}{3} \)</p> <p>\( 1 = \frac{1 + z_C}{3} \)</p> <p>\( 3 = 1 + z_C \)</p> <p>\( z_C = 2 \)</p> Therefore, the coordinates of point C are (1, 1, 2).
Finding Coordinates of Point A in a Parallelogram
Para resolver el problema de encontrar las coordenadas del punto A de manera que el cuadrilátero formado por los puntos P(-3, 4), E(-1, 2), R(-1, 5) y A sea un paralelogramo, tenemos que usar la propiedad que dice que en un paralelogramo los lados opuestos son iguales y paralelos. Dado que P y R ya están en la misma vertical (misma coordenada x), podemos concluir que A y E también deben estar en la misma vertical para que sus lados PR y AE sean paralelos y de la misma longitud. Esto significa que la coordenada x de A será igual a la coordenada x de E. Por lo tanto, la coordenada x de A es -1. Ahora, para que PR y AE no solo sean paralelos, sino también del mismo tamaño, la longitud de PR debe ser igual a la longitud de AE. La longitud de PR es la diferencia en las coordenadas y de P y R: PR = 5 - 4 = 1 Para que AE tenga esta misma longitud y considerando que la coordenada \( y \) de E es 2, sumamos esta longitud al punto E: \( y_A = y_E + PR = 2 + 1 = 3 \) Por lo tanto, la coordenada y de A es 3. En resumen, las coordenadas \( A(x_A, y_A) \) son \( A(-1, 3) \).
Finding Tangent Line Equation of a Circle
Câu hỏi trong hình là một câu hỏi về việc tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm. Đường tròn có phương trình là \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\) và tiếp điểm là \(M(5;3)\). Đầu tiên, chúng ta cần xác định tâm và bán kính của đường tròn. Tâm của đường tròn là \(O(2;-1)\) và bán kính \(R\) là căn bậc hai của 25, \(R = 5\). Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M(5;3)\). Đường kính qua tiếp điểm M và tâm O là pháp tuyến của tiếp tuyến tại M. Hệ số góc của đường kính này sẽ là đối số của hệ số góc của tiếp tuyến. Đường kính có hướng từ M đến O có hệ số góc: \[ k_{MO} = \frac{y_O - y_M}{x_O - x_M} = \frac{-1 - 3}{2 - 5} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ký hiệu là \(k_{TM}\), là đối của hệ số góc đường kính, do đó: \[ k_{TM} = -\frac{1}{k_{MO}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \] Bây giờ, sử dụng hệ số góc \(k_{TM}\) và tiếp điểm M(5;3), chúng ta có thể viết phương trình của tiếp tuyến như sau: \[ y - y_M = k_{TM}(x - x_M) \] \[ y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 5) \] Ta có thể biến đổi phương trình này để có được một phương trình theo định dạng chuẩn: \[ y + \frac{3}{4}x = 3 + \frac{15}{4} \] \[ y + \frac{3}{4}x = 3 + \frac{15}{4} = \frac{12}{4} + \frac{15}{4} = \frac{27}{4} \] \[ y = - \frac{3}{4}x + \frac{27}{4} \] \[ 4y = -3x + 27 \] \[ 3x + 4y - 27 = 0 \] Như vậy, phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y - 27 = 0\), do đó đáp án đúng là D.
Finding Parallel Lines in Coordinate Geometry
Câu hỏi yêu cầu ta tìm giá trị của "a" để đường thẳng d': y = ax - 19 song song với đường thẳng d: y = 3x + 4. Để hai đường thẳng song song với nhau, hệ số góc (hay còn gọi là hệ số của x) của chúng phải bằng nhau. Hệ số góc của đường thẳng d là 3. Như vậy, để d' song song với d, hệ số góc của d' cũng phải là 3. Điều này có nghĩa là a phải bằng 3. Vậy đáp án là C. a = 3.
CamTutor
In regards to math, we are professionals.
Get In Touch
Email: camtutor.ai@gmail.com