Example Question - combinatorial analysis
Here are examples of questions we've helped users solve.
Number Combination Arrangement without Repetition
Die Frage lautet: "3. Aus den Ziffernkarten 0,1,2,3,4 und 5 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, bei denen keine Ziffer mehrfach auftritt und bei denen die Zahlenwerte der Ziffern nach dem Ziehen von links nach rechts der Größe nach angeordnet werden. (Es werden 3 Ziffernkarten gezogen). a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. b. Stellen Sie alle Zahlen, die entstehen können, in einer informativen Übersicht dar." a. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, beachten wir, dass die Zahlen von links nach rechts der Größe nach geordnet sein müssen und keine Ziffer mehrfach auftreten darf. Wir haben sechs verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Für die erste Ziffer (die Hunderterstelle) können wir keine 0 wählen, also bleiben fünf Möglichkeiten (1, 2, 3, 4, 5). Für die zweite Ziffer (die Zehnerstelle) können wir keine der bereits gewählten Ziffern wählen und auch keine Ziffer, die kleiner als die auf der Hunderterstelle ist, also bleiben vier Möglichkeiten. Für die dritte Ziffer (die Einerstelle) bleiben dann noch drei Möglichkeiten. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich aus dem Produkt dieser Möglichkeiten: \( 5 * 4 * 3 = 60 \). b. Um eine informative Übersicht zu erstellen, ordnen wir die Zahlen beginnend mit der kleinsten Ziffer: 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345, Da wir beginnend mit der niedrigsten Ziffer alles der Größe nach anordnen, und keine Ziffer doppelt vorkommen darf, sind dies alle möglichen Kombinationen. Es sind insgesamt 10 Gruppen, die aus der Hunderter-, Zehner- und Einerziffern geformt werden können, wenn man die Kombinationen der Ziffern 1-5 betrachtet, ohne die Null, denn die Null kann nicht als führende Ziffer einer dreistelligen Zahl stehen. Wenn wir die Null als Zehner- oder Einerziffer einbeziehen, erhalten wir weitere Gruppen wie 102, 103, etc. Der obige Überblick gibt jedoch die grundlegenden Kombinationen ohne die Null als führende Ziffer wieder.
Combinatorial Method for Shortest Path Counting
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để tìm số lượng đường đi ngắn nhất từ A đến B trên lưới đường đã cho, bỏ qua khu vực VVV là khu vực cấm đi qua. Trước hết, chúng ta chia bài toán thành hai phần: 1. Đi từ A đến cạnh trên cùng của khu vực VVV. 2. Tiếp tục đi từ cạnh trên của khu vực VVV đến B. Trong mỗi phần, chúng ta sẽ điều hướng qua các ô lưới - đi xuống (D) hoặc đi sang phải (R). Số lượng đường đi ngắn nhất sẽ tương ứng với số cách sắp xếp các bước D và R sao cho đạt được điểm đến mà không quan tâm đến các ràng buộc của khu vực cấm. Đếm số bước D và R từ A đến cạnh trên cùng của VVV, cách điểm A 3 bước sang phải và 2 bước xuống, tức là RRRDD. Độ dài của đường đi không đổi, do đó chúng ta chỉ quan tâm đến số cách sắp xếp các chữ R và D. Số cách sắp xếp 5 chữ cái với 3 chữ R và 2 chữ D là: C(5,3) = C(5,2) = 5! / (3!2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10 cách. Tương tự, từ cạnh trên của VVV đến B, ta cần đi thêm 3 bước sang phải và 2 bước xuống, vì vậy lại có 10 cách nữa để sắp xếp các bước. Vậy, tổng số đường đi ngắn nhất là số cách sắp xếp từ A đến VVV nhân với số cách sắp xếp từ VVV đến B, tức là: 10 * 10 = 100 đường đi ngắn nhất từ A đến B mà không đi qua khu vực cấm VVV.
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