Example Question - combinations without repetition
Here are examples of questions we've helped users solve.
Counting Three-Digit Numbers with Increasing Digits
Die Aufgabe gibt uns die Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 und fragt nach der Anzahl der möglichen dreistelligen Zahlen, die ohne Wiederholung der Ziffern gebildet werden können, und bei denen die Ziffernwerte von links nach rechts in der Größe ansteigen. Das bedeutet, dass jede höhere Stelle eine größere Ziffer als die vorherige haben muss. a. Es werden drei unterschiedliche Ziffern gezogen, da keine Ziffer mehrfach auftreten darf. Da die Ziffern immer in aufsteigender Reihenfolge sein müssen, ist die Reihenfolge, in der wir die Ziffern ziehen, irrelevant, weil es immer nur genau eine gültige Reihenfolge für jede Kombination von drei Ziffern gibt. Deshalb handelt es sich hierbei um eine Kombination ohne Wiederholung. Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, verwenden wir die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) wobei n die Gesamtzahl der zur Verfügung stehenden unterschiedlichen Ziffern ist (in diesem Fall 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5) und k die Anzahl der Ziffern, die wir wählen (in diesem Fall 3). \( n! \) bedeutet die Fakultät von n. \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6*5*4}{3*2*1} = 20 \) Es gibt also 20 Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlen von links nach rechts ansteigen. b. Um alle Zahlen darzustellen, nehmen wir die Kombinationen der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 in Dreiergruppen, wobei jede Gruppe eine mögliche dreistellige Zahl ergibt. Die Zahlen in der Gruppe müssen immer in aufsteigender Reihenfolge sein. Hier einige Beispiele für solche Zahlen: - 012 - 013 - 014 - ... - 123 - 124 - ... - bis hoch zur größten möglichen Zahl unter dieser Bedingung, die 345 wäre. Es gäbe insgesamt 20 solcher Zahlen, wie in Teil (a) berechnet wurde.
Forming Unique Three-Digit Numbers from 0, 1, 2, 3
Die Aufgabenstellung lautet: "Aus den vier Ziffernkarten 0, 1, 2 und 3 sollen höchstens dreistellige Zahlen gebildet werden, ohne dass eine Ziffer mehrfach auftritt." Es werden 3 Ziffernkarten gezogen. a. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Berechnen Sie die Anzahl ohne nachzuzählen. Zu a: Für die erste Ziffer der Zahl haben wir 3 Möglichkeiten, da es eine dreistellige Zahl sein soll und eine führende Null nicht möglich ist (also können wir nur 1, 2 oder 3 wählen). Nachdem die erste Ziffer gewählt wurde, bleiben noch 3 Ziffernkarten übrig (0 inkludiert), aus denen wir für die zweite Ziffer der Zahl wählen können. Für die dritte und letzte Ziffer bleiben dann nur noch 2 Ziffernkarten übrig. Wir können die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnen, indem wir die Anzahl der Möglichkeiten für jede Ziffer miteinander multiplizieren, also: 3 (Möglichkeiten für die erste Ziffer) * 3 (Möglichkeiten für die zweite Ziffer) * 2 (Möglichkeiten für die dritte Ziffer) = 3 * 3 * 2 = 18. Es gibt also insgesamt 18 mögliche dreistellige Zahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2 und 3 gebildet werden können, ohne dass sich eine Ziffer wiederholt. b. Zu b: Diese Möglichkeiten können systematisch mit Hilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Jeder Pfad entlang des Diagramms stellt eine einzigartige Kombination der Ziffern dar. Im Baumdiagramm beginnt man normalerweise mit der ersten Ziffer und fügt dann Zweige hinzu, die alle möglichen Ziffern für die zweite und dritte Position darstellen. Da ich hier das Baumdiagramm nicht zeichnen kann, erkläre ich Ihnen, wie Sie es aufzeichnen können: 1. Beginnen Sie mit einem Ast für jede der drei möglichen Ziffern für die erste Position (1, 2 oder 3). 2. Für jeden dieser Äste fügen Sie drei Äste für die zweite Position hinzu, wobei Sie darauf achten, nicht die gleiche Ziffer wie für die erste Position zu verwenden. 3. Anschließend zeichnen Sie für jede dieser Kombinationen zwei Äste für die dritte Position und schließen auch hier die bereits verwendeten Ziffern aus. 4. Jeder Pfad von der Wurzel des Baumes bis zu seinen Blättern repräsentiert eine der 18 Möglichkeiten.
Pizza Toppings Combination Calculation
Bei dieser Aufgabe geht es darum, herauszufinden, wie viele Kombinationsmöglichkeiten von Belägen es für hausgemachte Pizza-Brötchen gibt, wenn jedes Brötchen mit vier unterschiedlichen Zutaten belegt werden kann. Es wurden keine spezifischen Zutaten erwähnt, aber es gibt ein paar Beispiele für Kombinationen, die die Familie Meier macht. Da nicht angegeben ist, wie viele verschiedene Zutaten insgesamt zur Verfügung stehen, lässt sich die Frage, wie viele verschiedene Pizza-Brötchen gebacken werden müssen, ohne weitere Informationen leider nicht beantworten. Wir bräuchten die genaue Anzahl der verfügbaren Zutaten, um die Kombinationsmöglichkeiten zu berechnen. Nehmen wir hypothetisch an, es gäbe 10 verschiedene Zutaten, dann könnte die Anzahl der Kombinationen mit der Formel für Kombinationen ohne Wiederholung berechnet werden: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) wobei n die Gesamtzahl der verfügbaren Zutaten ist und k die Anzahl der Zutaten ist, die auf einem Brötchen Platz finden (in diesem Fall 4). Würden wir 10 Zutaten haben, hätten wir: C(10, 4) = 10! / (4! * (10 - 4)!) = 210 Das bedeutet, dass es 210 mögliche Kombinationen von 4 Zutaten aus den 10 verschiedenen Zutaten gäbe.
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