Question - Counting Three-Digit Numbers with Increasing Digits
Solution:
Die Aufgabe gibt uns die Ziffernkarten 0, 1, 2, 3, 4 und 5 und fragt nach der Anzahl der möglichen dreistelligen Zahlen, die ohne Wiederholung der Ziffern gebildet werden können, und bei denen die Ziffernwerte von links nach rechts in der Größe ansteigen. Das bedeutet, dass jede höhere Stelle eine größere Ziffer als die vorherige haben muss.a. Es werden drei unterschiedliche Ziffern gezogen, da keine Ziffer mehrfach auftreten darf. Da die Ziffern immer in aufsteigender Reihenfolge sein müssen, ist die Reihenfolge, in der wir die Ziffern ziehen, irrelevant, weil es immer nur genau eine gültige Reihenfolge für jede Kombination von drei Ziffern gibt. Deshalb handelt es sich hierbei um eine Kombination ohne Wiederholung.Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, verwenden wir die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung:$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$wobei n die Gesamtzahl der zur Verfügung stehenden unterschiedlichen Ziffern ist (in diesem Fall 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5) und k die Anzahl der Ziffern, die wir wählen (in diesem Fall 3). $$ n! $$ bedeutet die Fakultät von n.$$ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6*5*4}{3*2*1} = 20 $$Es gibt also 20 Möglichkeiten, dreistellige Zahlen zu bilden, bei denen keine Ziffer mehrfach vorkommt und die Zahlen von links nach rechts ansteigen.b. Um alle Zahlen darzustellen, nehmen wir die Kombinationen der Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 in Dreiergruppen, wobei jede Gruppe eine mögliche dreistellige Zahl ergibt. Die Zahlen in der Gruppe müssen immer in aufsteigender Reihenfolge sein.Hier einige Beispiele für solche Zahlen:- 012- 013- 014- ...- 123- 124- ...- bis hoch zur größten möglichen Zahl unter dieser Bedingung, die 345 wäre.Es gäbe insgesamt 20 solcher Zahlen, wie in Teil (a) berechnet wurde.
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